·464· 智能系统学报 第11卷 用与对应概率的乘积之和：若将对象x划分到边界 效用 域，得到的效用等于其在状态[x]CX和[x]SX 下划分到边界域的效用与对应概率的乘积之和：若 将对象x划分到负域，得到的效用等于其在状态 [x]CX和[x]SX下划分到负域的效用与对应概 率的乘积之和。 给定一个决策表，对于任意属性集A二C,有多 个对象划分到正域、边界域和负域。正域效用、边界 B. 域效用、负域效用分别表示如下： B. 正t域效用Utility(utility for positive region,UPR): (b)1- 1-y ∑(p·u(Aw)+(I-pP.)·u(w)） e0(a.)(r/） 边界域效用Utility"(utility for boundary region,UBR): ∑.(,·u(入m)+(1-乃)·u(入) 写-BND(o)(rmd 负域效用Utility(utility for negative region,UNR): ∑，，(p:·u(Ap)+(I-P)u入w》 eNG)） 式中：x:表示划分到正域的对象，x表示划分到边 B. 界域的对象，x表示划分到负域的对象。正域效用 (c) 0-a<- 等于划分到正域的所有对象的效用和。边界域效用 图2效用函数曲线 等于划分到边界域的所有对象的效用和。负域效用 Fig.2 The utility function curves 等于划分到负域的所有对象的效用和。 总效用=正域效用+边界域效用+负域效用，即 图2中横坐标表示对象的概率P,纵坐标表示 Utility=Utility+Utility+Utility,具体表示为 决策的效用Utility(p)。一对阈值(a.,B)将概率 Utility= p的取值划分成3个区域[0，B.]、(B.。,a.)和[a., ，(P:·u(入m）+(1-P:)·u(入w)+ 1],分别对应对象划分到负域、边界域和正域。由 e0saA)-) 对象的效用公式可知，每个区域中效用均随概率呈 ∑，(g·u(入m)+(1-p)·(x)+ 线性变化。无论B./(1-a.)与y.(1-y.)是何种 与eIND(cA)() 关系，当p∈[0，B]时，效用随概率p的增加呈线 ∑(4·u(a)+(1-P4)·u(A)） 性下降，说明判定为负规则的概率(1-p)越小，效 是eNEG(aA)(mA） 用越小；当p∈[a。,1]时，效用随概率p的增加呈 2.3效用与对象的概率之间的关系讨论 线性上升，说明判定为正规则的概率越大，效用越 在效用三支决策模型中，假设做出正确决策的 大。当p∈(B。,a.)时，效用随概率p的增加呈现 效用最大，即u(入p)=u(A、x)=1。效用随着对象 出3种不同的情况。即当判定为边界规则时，随概 的概率变化会呈现3种情况，如图2所示。 率的增加，效用可能是增加、不变或减少。此时，效 效用 用的变化趋势可通过判定B./(1-a.)与y./(1- Y)的关系获得。具体推导过程如下： 当p∈[0，B]时， Utility=p·u(Ap)+(1-p)·u(AN)= p·u(入p）+(1-p)= (u(入p)-1)·p+1 0 由于u(入p)-1<0,所以当p∈[0，B.]时，效 B。 用随概率增加呈单调下降。 (a1-a。 Y. 1-y 当pe[a。,1]时，用与对应概率的乘积之和；若将对象 ｘ 划分到边界 域，得到的效用等于其在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 和 ［ｘ］ ⊆ Ｘ ｃ 下划分到边界域的效用与对应概率的乘积之和；若 将对象 ｘ 划分到负域，得到的效用等于其在状态 ［ｘ］ ⊆Ｘ 和 ［ｘ］ ⊆Ｘ ｃ 下划分到负域的效用与对应概 率的乘积之和。 给定一个决策表，对于任意属性集 Ａ ⊆ Ｃ ，有多 个对象划分到正域、边界域和负域。 正域效用、边界 域效用、负域效用分别表示如下： 正域效用Ｕｔｉｌｉｔｙ ＰＯＳ Ａ （ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｒｅｇｉｏｎ，ＵＰＲ）： ｘ ∑ ｉ∈ＰＯＳ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｉ·ｕ（λＰＰ ） ＋ （１ － ｐｉ）·ｕ（λＰＮ）） 边界域效用Ｕｔｉｌｉｔｙ ＢＮＤ Ａ （ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｒｅｇｉｏｎ，ＵＢＲ）： ｘ ∑ ｊ∈ＢＮＤ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｊ·ｕ（λＢＰ） ＋ （１ － ｐｊ）·ｕ（λＢＮ）） 负域效用Ｕｔｉｌｉｔｙ ＮＥＧ Ａ （ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｒｅｇｉｏｎ，ＵＮＲ）： ｘ ∑ ｋ∈ＮＥＧ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｋ·ｕ（λＮＰ） ＋ （１ － ｐｋ）·ｕ（λＮＮ）） 式中： ｘｉ 表示划分到正域的对象， ｘｊ 表示划分到边 界域的对象， ｘｋ 表示划分到负域的对象。 正域效用 等于划分到正域的所有对象的效用和。 边界域效用 等于划分到边界域的所有对象的效用和。 负域效用 等于划分到负域的所有对象的效用和。 总效用 ＝ 正域效用＋边界域效用＋负域效用，即 ＵｔｉｌｉｔｙＡ ＝ Ｕｔｉｌｉｔｙ ＰＯＳ Ａ ＋ Ｕｔｉｌｉｔｙ ＢＮＤ Ａ ＋ Ｕｔｉｌｉｔｙ ＮＥＧ Ａ ，具体表示为 ＵｔｉｌｉｔｙＡ ＝ ｘ ∑ ｉ∈ＰＯＳ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｉ·ｕ（λＰＰ） ＋ （１ － ｐｉ）·ｕ（λＰＮ）） ＋ ｘ ∑ ｊ∈ＢＮＤ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｊ·ｕ（λＢＰ） ＋ （１ － ｐｊ）·ｕ（λＢＮ）） ＋ ｘ ∑ ｋ∈ＮＥＧ（α ｕ ，β ｕ ） （πＤ／ πＡ ） （ｐｋ·ｕ（λＮＰ） ＋ （１ － ｐｋ）·ｕ（λＮＮ）） ２．３ 效用与对象的概率之间的关系讨论 在效用三支决策模型中，假设做出正确决策的 效用最大，即 ｕ（λＰＰ ） ＝ ｕ（λＮＮ） ＝ １。 效用随着对象 的概率变化会呈现 ３ 种情况，如图 ２ 所示。 （ａ） βｕ １ － αｕ ＞ γｕ １ － γｕ （ｂ） βｕ １ － αｕ ＝ γｕ １ － γｕ （ｃ） βｕ １ － αｕ ＜ γｕ １ － γｕ 图 ２ 效用函数曲线 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ 图 ２ 中横坐标表示对象的概率 ｐ ，纵坐标表示 决策的效用 Ｕｔｉｌｉｔｙ（ｐ） 。 一对阈值 （αｕ ，βｕ ） 将概率 ｐ 的取值划分成 ３ 个区域 ［０，βｕ ］ 、 （βｕ ，αｕ ） 和 ［αｕ ， １］ ，分别对应对象划分到负域、边界域和正域。 由 对象的效用公式可知，每个区域中效用均随概率呈 线性变化。 无论 βｕ ／ （１ － αｕ ） 与 γｕ ／ （１ － γｕ ） 是何种 关系，当 ｐ ∈ ［０，βｕ ］ 时，效用随概率 ｐ 的增加呈线 性下降，说明判定为负规则的概率 （１ － ｐ） 越小，效 用越小；当 ｐ ∈ ［αｕ ，１］ 时，效用随概率 ｐ 的增加呈 线性上升，说明判定为正规则的概率 ｐ 越大，效用越 大。 当 ｐ ∈ （βｕ ，αｕ ） 时，效用随概率 ｐ 的增加呈现 出 ３ 种不同的情况。 即当判定为边界规则时，随概 率的增加，效用可能是增加、不变或减少。 此时，效 用的变化趋势可通过判定 βｕ ／ （１ － αｕ ） 与 γｕ ／ （１ － γｕ ） 的关系获得。 具体推导过程如下： 当 ｐ ∈ ［０，βｕ ］ 时， Ｕｔｉｌｉｔｙ ＮＥＧ Ａ ＝ ｐ·ｕ（λＮＰ ） ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＮＮ） ＝ ｐ·ｕ（λＮＰ ） ＋ （１ － ｐ） ＝ （ｕ（λＮＰ ） － １）·ｐ ＋ １ 由于 ｕ（λＮＰ ） － １ ＜ ０，所以当 ｐ ∈［０，βｕ ］ 时，效 用随概率增加呈单调下降。 当 ｐ ∈ ［αｕ ，１］ 时， ·４６４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷