第4期 张楠，等：效用三支决策模型 465· Utility=p·u(Ap)+(1-p）·u(Aw)= 给定一个决策表（如表2）进行分析。该决策表的损 p+(1-p)·u(入w）= 失函数如表3所示。 (1-u(入pw)·p+u(Aw) 表2决策表 由于1-u(Aw)>0,所以当p∈[a.,1]时，效 Table 2 A decision table 用随概率增加呈单调上升。 函数 C2 当p∈（α.，B.)时，效用可能随概率增加呈单 1 1 1 调上升、不变或下降。在p=a。,p=B.两点的效用 2 2 1 2 分别采用划分到正域和负域的效用公式计算。在图 X3 2 2 2(a)中，满足以下条件 1 Utility(B.）<Utility(a.)台 2 2 3 (u(入p)-1)·B+1<(1-u(入m)·a+u(入w)台 X6 1 3 3 (u(入p)-1)·B.<(u(入pw)-1)·(1-a.) 7 2 1 4 由于u(入p)-1<0,1-a。>0,所以 2 2 B.>uAm）-I 1 3 1-au(入p)-1 表3损失函数 对上式右侧进行变换得 Table 3 Loss function u(入pN)-11-u(入Pw) 函数 ap ag aN u(Ap）-i=1-u(AP) F 0 1000 3500 u(ANw)-u(入Pw) X 2500 600 0 u(入p)-u(Ap) 效用函数可采用Von Neumann-Morgenstern标准 u(ANw）-u(入pw) 测定法，即通过询问打分的方式确定，但操作较为复 (u(ANs)-u(APs))+(u(App)-u(ANP)) 杂，实际应用中常采用函数拟合等方法。常见的效 u(入p）-u(入p) 用函数有指数效用函数u(x)=a+be“(c≥0)、对 (u(ANw)-u(入pN))+(u(入p)-u(入p) 数效用函数u(x)=aln(x+b)+c(x+b>0)和二 u(Ax)-u(入pw) 项式类型效用函数u(x)=a(x-1/2ax2)+ (u(ANx)-u(Apx))+(u(App)-u(Asp)) b(ax≤1)等。本文通过L-A拟合法，即设效用函 u(入w)-u(入w) 数曲线满足u(入)=a(-A+c)b,可得到如图3所 1-(u(ss)-u()+(u(m)-u(s)) 示的3种效用曲线。其中u(0)=1,u(3500)=0,风 Yu 险厌恶型曲线令u(2500)=0.5,风险喜好型曲线令 1-y. u(1000)=0.5,风险中立型曲线满足u((0+ 所以可变换为 3500)/2)=0.5。参数b决定效用曲线类型，其中 B 0<b<1、b=1和b>1分别对应风险厌恶型、风险 > 1-&。1-Y. 中立型和风险喜好型效用曲线。 同理，在图2(b)中，Utility(B.)=Utility(a.),得 1.0 一··风险喜好型 B。 风险中立型 ,··风险厌恶型 1-a。1-y. 在图2、3中，Utility(Bn)>Utility(a.),可得 b>1 b1、0Kb<1 0.5 β。 1-<1- 可以看到，概率p的值靠近0和1时，效用增大，即 确定性程度越大，效用越大：概率p的值靠近B。和a. 时，效用减少，即不确定性程度越大，效用越小。 0.51.01.52.02.53.03.5 损失值 3实例分析 图3效用拟合函数曲线 为了较好地描述效用三支决策模型的有效性， Fig.3 The utility fitting function curvesＵｔｉｌｉｔｙ ＰＯＳ Ａ ＝ ｐ·ｕ（λＰＰ ） ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＰＮ） ＝ ｐ ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＰＮ） ＝ （１ － ｕ（λＰＮ））·ｐ ＋ ｕ（λＰＮ） 由于 １ － ｕ（λＰＮ） ＞ ０，所以当 ｐ ∈［αｕ ，１］ 时，效 用随概率增加呈单调上升。 当 ｐ ∈ （αｕ ，βｕ ） 时，效用可能随概率增加呈单 调上升、不变或下降。 在 ｐ ＝ αｕ ， ｐ ＝ βｕ 两点的效用 分别采用划分到正域和负域的效用公式计算。 在图 ２（ａ）中，满足以下条件 Ｕｔｉｌｉｔｙ（βｕ ） ＜ Ｕｔｉｌｉｔｙ（αｕ ）⇔ （ｕ（λＮＰ） － １）·βｕ ＋ １ ＜ （１ － ｕ（λＰＮ））·αｕ ＋ ｕ（λＰＮ）⇔ （ｕ（λＮＰ ） － １）·βｕ ＜ （ｕ（λＰＮ） － １）·（１ － αｕ ） 由于 ｕ（λＮＰ ） － １ ＜ ０， １ － αｕ ＞ ０，所以 βｕ １ － αｕ ＞ ｕ（λＰＮ） － １ ｕ（λＮＰ ） － １ 对上式右侧进行变换得 ｕ（λＰＮ） － １ ｕ（λＮＰ ） － １ ＝ １ － ｕ（λＰＮ） １ － ｕ（λＮＰ ） ＝ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ＝ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ＝ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） １ － ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ＝ γｕ １ － γｕ 所以可变换为 βｕ １ － αｕ ＞ γｕ １ － γｕ 同理，在图２（ｂ）中， Ｕｔｉｌｉｔｙ（βｕ ） ＝ Ｕｔｉｌｉｔｙ（αｕ ） ，得 βｕ １ － αｕ ＝ γｕ １ － γｕ 在图 ２、３ 中， Ｕｔｉｌｉｔｙ（βｕ ） ＞ Ｕｔｉｌｉｔｙ（αｕ ） ，可得 βｕ １ － αｕ ＜ γｕ １ － γｕ 可以看到，概率ｐ 的值靠近０ 和１ 时，效用增大，即 确定性程度越大，效用越大；概率 ｐ 的值靠近 βｕ 和 αｕ 时，效用减少，即不确定性程度越大，效用越小。 ３ 实例分析 为了较好地描述效用三支决策模型的有效性， 给定一个决策表（如表 ２）进行分析。 该决策表的损 失函数如表 ３ 所示。 表 ２ 决策表 Ｔａｂｌｅ ２ Ａ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｔａｂｌｅ 函数 ｃ１ ｃ２ ｄ ｘ１ １ １ １ ｘ２ ２ １ ２ ｘ３ ２ ２ ２ ｘ４ １ １ ３ ｘ５ ２ ２ ３ ｘ６ １ ３ ３ ｘ７ ２ １ ４ ｘ８ ２ ２ ４ ｘ９ １ ３ ４ 表 ３ 损失函数 Ｔａｂｌｅ ３ Ｌｏｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 函数 ａＰ ａＢ ａＮ Ｘ ０ １ ０００ ３ ５００ Ｘ ｃ ２ ５００ ６００ ０ 效用函数可采用 Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ⁃Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ 标准 测定法，即通过询问打分的方式确定，但操作较为复 杂，实际应用中常采用函数拟合等方法。 常见的效 用函数有指数效用函数 ｕ（ｘ） ＝ ａ ＋ ｂｅ －ｃｘ （ｃ ≥ ０） 、对 数效用函数 ｕ（ｘ） ＝ ａｌｎ（ｘ ＋ ｂ） ＋ ｃ（ｘ ＋ ｂ ＞ ０） 和二 项 式 类 型 效 用 函 数 ｕ（ｘ） ＝ ａ（ｘ － １ ／ ２ａｘ ２ ） ＋ ｂ（ａｘ ≤１） 等。 本文通过 Ｌ⁃Ａ 拟合法，即设效用函 数曲线满足 ｕ（λ） ＝ ａ （ － λ ＋ ｃ） ｂ ，可得到如图 ３ 所 示的 ３ 种效用曲线。 其中 ｕ（０） ＝ １， ｕ（３ ５００） ＝ ０，风 险厌恶型曲线令 ｕ（２ ５００） ＝ ０．５，风险喜好型曲线令 ｕ（１ ０００） ＝ ０．５， 风 险 中 立 型 曲 线 满 足 ｕ（（０ ＋ ３ ５００） ／ ２） ＝ ０．５。 参数 ｂ 决定效用曲线类型，其中 ０ ＜ ｂ ＜ １、 ｂ ＝ １ 和 ｂ ＞ １ 分别对应风险厌恶型、风险 中立型和风险喜好型效用曲线。 图 ３ 效用拟合函数曲线 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｉｔｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ 第 ４ 期 张楠，等：效用三支决策模型 ·４６５·