银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 由向量的数量积的定义可推得： (1)a.a=la (2)对于两个非零向量a,b,如果ab=0,那么a⊥b,反之如果a⊥b, 那么a·b=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量a⊥b的充分必要条件为ab=0。 (3)la.blalbl 向量的数量积满足下列运算规律： (1)交换律ab=ba; (2)结合律(1a)·b=(a·b): (3)分配律a(b+c)=ab+a·c。 三、常用结论 (1)设=(a,a,a)0,b=(b,b,b),向量b1la→b=a,即bl/a-(b,b, b:上(a,a,a,于是点-_点 ax ay a. (2)向量a与b垂直(aLb)一ab=0一ab.+a,b,+a.b.=0 (3)两个非零向量a和b,它们之间夹角余弦的计算公式为 a b,+a,b,+a.b. cos= a.b abVg+a+aVb:+b+b好 (4)向量a,b,c共面台存在实数u和1，使c=a+b (5)空间中两点A(x,1,2)和B2,2,2),则 AB=0B-0A=(x2,2,22-(x1,1,21）=(x2-x1,2-y1,22-2 于是点A与点B间的距离公式为 14BHAB昨6s2-x2+02-h2+(-2. 四、举例 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=4,AD=b. 试用a和b表示向量M、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的 交点 第6页银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 6 页 由向量的数量积的定义可推得： （1） 2 a  a  a （2）对于两个非零向量 a，b ，如果 a b  0 ，那么 a  b ，反之如果 a  b， 那么 a b  0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量 a  b 的充分必要条件为 a b  0。 （3） | | | | a b a b   向量的数量积满足下列运算规律： （1）交换律 a b  b a ； （2）结合律 (a)b  (a b) ； （3）分配律 a (b  c)  a b  a  c 。 三、常用结论 （1）设 a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量 b//aba  即 b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是 z z y y x x a b a b a b   （2）向量 a 与 b 垂直（a⊥b） a b  0  0 x x y y z z a b a b a b    （3）两个非零向量 a 和 b ，它们之间夹角余弦的计算公式为 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b a b a b           （4）向量 a，b，c 共面  存在实数  和  ，使 c a b     （5）空间中两点 A (x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 则    ABOBOA(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) 于是点 A 与点 B 间的距离公式为  2 2 1 2 2 1 2 2 1 |AB||AB| (x x ) (y  y ) (z z )  四、举例 例 1 在平行四边形 ABCD 中 设  AB a  AD b 试用 a 和 b 表示向量  MA 、  MB 、  MC 、  MD  其中 M 是平行四边形对角线的 交点