银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 向量a与实数入的乘积记作a,规定a是一个向量，它的模a=lal,它 的方向当>0时与a相同，当1<0时与a相反. 当=0时，2=0，即2a为零向量，这时它的方向可以是任意的. 特别地，当=±1时，有 1a=a,(-1)a=-a. 运算规律： (1)结合律2(ua)=2a)=(0a: (2)分配律(+)a=a+a: (a+b)=+b. 向量的单位化： 设a≠0，则向量“是与a同方向的单位向量，记为ea lal 于是a=|alea 定理1设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是： 存在唯一的实数元，使b=1a. 证明：条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性， 设6∥a取岛，当6与a同向时诹正值，当6与a反向时诹负值，即 b=入a.这是因为此时b与2a同向，且 ha-laIa-合aHol, 再证明数的唯一性.设b-a,又设b=ua,两式相减，便得 (2-4)a=0,即la-4al=0. 因1a≠0，故2-=0，即=4. 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定 了数轴Ox,对于轴上任一点P,对应一个向量OP,由OP优，根据定理1，必有 唯一的实数x,使OP=xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值)，并知OP与实数x 一一对应.于是 点P<→向量OP=xik→实数x, 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此，定义实数x为轴上点P的 坐标 由此可知，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP=xi. 4.向量的数量积 两个向量a和b的模与它们的夹角0(0≤0≤π)的余弦的乘积叫做两个 向量a与b的数量积（或内积、点积），记作a-b,即a-b=labcos0。 当a≠0时，bcos0=lcos(a,b)称为向量b在向量a的方向上的投影，记 为(b)a,所以ab=lab)。同理，当b≠0时，a-b=b(a。 第5页银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 5 页 向量 a 与实数  的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模|a||||a| 它 的方向当 >0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反 当 0 时 |a|0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 1 时 有 1aa (1)aa 运算规律 (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa； (ab)ab 向量的单位化  设 a0 则向量 |a| a 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea 于是 a  | a | ea 定理 1 设向量 a  0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数  使 b  a 证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 b // a 取 |a| |b| ||  当 b 与 a 同向时取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba 这是因为此时 b 与a 同向 且 |a||||a| a| |b| a b  |  | | | |  再证明数的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得 ()a0 即|||a|0 因|a|0 故||0 即 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定 了数轴 Ox 对于轴上任一点 P 对应一个向量  OP  由  OP //i 根据定理 1 必有 唯一的实数 x 使  OP xi(实数 x 叫做轴上有向线段  OP 的值) 并知  OP 与实数 x 一一对应 于是 点 P向量  OP  xi实数 x  从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的 坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是  OP  xi  4．向量的数量积 两个向量 a 和 b 的模与它们的夹角  （ 0    ）的余弦的乘积叫做两个 向量 a 与 b 的数量积（或内积、点积），记作 ab ，即 a b  a b cos 。 当 a  0 时， cos cos( , )  b   b a b 称为向量 b 在向量 a 的方向上的投影，记 为 a b ，所以   a b  a b a  。同理，当 b  0 时，   a b  b a b 