《数学分析(1,2,3)》教案 要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和 那个常数不可预知,因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分 的值。 定理1(定积分存在的第一充分必要条件)函数∫(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是imS=limS 注:定理1也可叙述为函数f(x)在[b]上可积的充分必要条件是limS-S|=0 例:证明 为有理数, ∫(x) -,x为无理数 在[-1,]不可积,但f(x)可积。 定义2记O1=M1-m1,称之为f(x)在△x上的幅度,则有 注:定理1也可叙述为函数f(x)在[ab]上可积的充分必要条件是lim∑O△x=0。 定理2(定积分存在的第二充分必要条件)函数f(x)在{a,b上可积的充分必要条件是对任意的两个 正数E及σ>0,可找到6>0,使当任一分法满足A=max{△x}<时,对应于幅度O1≥E的那些区间的 长度Ax2E之和∑Ax;<a。 注:定理揭示了可积函数的本质,表明可积函数不连续的范围不能太广 二可积函数类 定理3若函数f(x)为[ab上的连续函数,则f(x)在[a,b上可积。 定理4若∫(x)是区间[a,b上只有有限个第一类不连续点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积。 定理5若f(x)是区间[a,b上的单调函数,则f(x)在[a,b]上可积 注意:单调函数即使有无限多个间断点,也仍然可积 0,x=0 例:试用两种方法证明函数f(x)={11 nn+1x≤,n=12.在区间[O,上可积 §3定积分的性质 性质1若函数f(x)在[a,b上可积,k为常数,则kf(x)在[a,b]上也可积,且《数学分析（1，2，3）》教案 7-3 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和 那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分 的值。 定理 1（定积分存在的第一充分必要条件） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 0 lim lim S S   − → → − = 。 注：定理 1 也可叙述为函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 lim 0 S S  − → −     − =   。 例：证明 ( ) 1, 1 x f x x  =  − 为有理数， ， 为无理数 在 −11， 不可积，但 f x( ) 可积 。 定义 2 记 i = Mi − mi ，称之为 f (x) 在 i x 上的幅度，则有 1 n i i i S S x  − − = − =   。 注：定理 1 也可叙述为函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 1 lim 0 n i i i x   → =   = 。 定理 2 （定积分存在的第二充分必要条件） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是对任意的两个 正数  及   0 ，可找到   0 ，使当任一分法满足   =   max xi 时，对应于幅度 ' i    的那些区间的 长度 i'   x  之和 ' ' i i   x  。 注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。 二 可积函数类 定理 3 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 定理 4 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 定理 5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 例：试用两种方法证明函数       = + = = , 1,2, 1 1 1 , 1 0, 0 ( ) n n x n n x f x 在区间 [0,1] 上可积。 §3 定积分的性质 性质 1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积， k 为常数，则 kf (x) 在 [a,b] 上也可积，且