《数学分析(1,2,3)》教案 即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。 性质2若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积,则∫(x)±g(x)在[a,b上也可积,且有 f(x)±g(x)t=f(x)d±g(x)dr 性质3若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积,则f(x)·g(x)在[a,b]上也可积 注意:一般地f(x)g(x)dtx≠f(x)dtg(x)x。 性质4若函数f(x)在[ab]上可积,则f(x)也在[ab]上可积 出,4的不/(小为无数 在[-1,1不可积,但(x)可积 性质5(关于积分区间的可加性)函数f(x)在[ab]上可积台Vc∈(a,b),f(x)在[a,C]与[c,b上都可 积,此时有[f(x)dtx=f(x)dx+[f(x)dr。 注:性质5对a,b,c的任何大小顺序都成立 性质6设函数f()在上可积,且f()20,x∈ab,则广(x)20 例:设函数f(x)在[ab]上连续,f(x)≥0,x∈{ab,且在f(x)不恒等于0,证明[f(x)x>0 性质7若函数(在6上可积,则/(x/(x 性质8(积分第一中值定理)若∫(x)在[a,b上连续,g(x)在[a,b上不变号且可积,则至少存在一点 5eb,使得(x)g(x=(5),g(x)。 说明:当g(x)=1时,结论为则至少存在一点∈[ab,使得∫f(x)=f(5(b-) 注:事实上,积分第一中值定理中的点ξ必能5∈(a,b)。 积分第一中值定理的几何意义:如右图,若∫(x)在[a,b]上非负连续,则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形的 面积等于以/()=/(x为高,b为底的矩形的面积 般地,称C(xk为/x)在[a上的平均值 例:试求f(x)=snx在[0,丌]上的平均值《数学分析（1，2，3）》教案 7-4   = b a b a kf(x)dx k f (x)dx。 即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。 性质 2 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x)  g(x) 在 [a,b] 上也可积，且有     =  b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 3 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积。 注意：一般地     b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 4 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 也在 [a,b] 上可积 注：性质 4 的你不对。例如 ( ) 1, 1 x f x x  =  − 为有理数， ， 为无理数 在 −11， 不可积，但 f x( ) 可积 。 性质 5（关于积分区间的可加性） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  c  (a,b) ， f (x) 在 [a, c] 与 [c,b] 上都可 积，此时有    = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 。 注：性质 5 对 a,b, c 的任何大小顺序都成立。 性质 6 设函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，且 f (x)  0， x [a,b] ，则   b a f (x)dx 0 。 例：设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， f (x)  0， x [a,b] ，且在 f (x) 不恒等于 0，证明   b a f (x)dx 0 。 性质 7 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f x dx f x dx b a b a  ( )  ( ) 。 性质 8（积分第一中值定理）若 f (x) 在 [a,b] 上连续， g(x) 在 [a,b] 上不变号且可积，则至少存在一点  [a,b] ，使得   = b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx 。 说明：当 g(x)  1 时，结论为则至少存在一点  [a,b] ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = −   。 注：事实上，积分第一中值定理中的点  必能   (a,b)。 积分第一中值定理的几何意义：如右图，若 f (x) 在 [a,b] 上非负连续，则 y = f (x) 在 [a,b] 上的曲边梯形的 面积等于以  − = b a f x dx b a f ( ) 1 ( ) 为高， [a,b] 为底的矩形的面积。 一般地，称  − b a f x dx b a ( ) 1 为 f (x) 在 [a,b] 上的平均值。 例：试求 f (x) = sin x 在 [0, ] 上的平均值