第5期 姜婷，等：基于分布先验的半监督FCM的肺结节分类 ·731· 即完成聚类。 为山：，表示第k个样本点相对于第i个聚类中心的 J(u,v)= 模糊隶属度，其取值范围为[0,1]；，=∫表示部分 (1) 监督样本的模糊隶属度；“，表示无监督样本的模 糊隶属度：其中 k=1,2,…,N (2) Ix-vll=(-v)TA(-v) (9) 1 (3) A是任何的正定矩阵。 x-y‖、 2.3基于样本分布先验的半监督FCM算法 基于样本分布先验的半监督FCM的目标函 数如下： k=1 := (4 1=22财G+a2w4-r =1=1 i=1k=1 (10) 式中：C为聚类个数；N为样本个数；u4为FCM中的 式中：标记样本的隶属度F=[f],i=1,2,…,C 模糊隶属度，表示第k个样本点属于第i个聚类中 N=1,2,…,n;d4表示第k个样本点相对于第i个聚 心的隶属度，其取值范围为[0,1]；，表示第i类的 类中心间的欧式距离：通常情况下模糊因子取经验 聚类中心；‖x-v:‖2表示第k个样本点相对于第i 值p=2:α是使监督和无监督样本之间保持相对平 个聚类中心的欧式距离：P为模糊因子，它决定样本 衡的因子，其中α本文选取的是传统的半监督FCM 在不同类中的模糊程度。 算法中α的取值，即总样本和标记样本数量之比。 通过不断地更新迭代公式(3)、(4)，直到式 为区分标记样本和未标记样本，引入了二值向量b= (1)中目标函数的值小于特定的值ε时或者相对于 b,其中k=1,2,…,n,标记样本时bs=1,相反未标 上次的目标函数值的改变量小于特定的值时，停止 记样本时b=0。 迭代。 为了增强标记样本的监督作用，在计算模糊隶 2.2部分监督的FCM算法 属度和聚类中心时分别引入了样本的分布信息。 Bensaid在经典的FCM算法的基础上，提出了 本文通过在式(15)、(16)、(17)中引入两个权重8 种部分监督聚类算法。他提出的算法加强了标 和B,其中日表示标记样本的权重，B表示未标记样 记信息在聚类过程中的指导作用。通过给标记样 本的权重。通过0和B来指导实现聚类的过程。 本赋予较大的权重，使标记样本在聚类中心的形成 q=M/N (11) 过程中发挥更重要的作用，提高了聚类的精度。其 r=(N-M)/N (12) 目标函数为 0=1-q (13) B=1-T (14) (5) 式中：9表示标记样本的先验概率：M表示标记样本 其聚类中心为 的数量：N表示总样本的数量：r表示未标记样本的 先验概率；(N-M)表示未标记样本的数量。通过优 (u)x) 化目标函数，标记样本的模糊隶属度为 k=1 (6) …宫 u) + (15) 模糊隶属度为 uh.=fi (7) 未标记样本的模糊隶属度为 1 1 山= (8) u法=B× ‖x若-V4-1A (16) j=1 式中：聚类中心中的w为权重因子，w=[w1w2… 聚类中心为 w]',文中使w:=w,其中w为具体的数值，表示标 ，(u4)2x4+∑ (Bu)2x 记样本的数量，通过对少量的标记样本进行增加权 (17) ∑(u)2+∑ (B4)2 重，可以更好地加强标记样本的作用：模糊隶属度即完成聚类。 Ｊｍ（ｕ，ｖ） ＝ ∑ Ｃ ｉ ＝ １ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ ｕ ｐ ｉｋ‖ｘｋ － ｖｉ‖２ （１） ｋ ＝ １，２，…，Ｎ （２） ｕｉｋ ＝ １ ∑ ｎ ｊ ＝ １ （ ‖ｘｋ － ｖｉ‖ ‖ｘｋ － ｖｊ‖ ） ２ ｐ－１ （３） ｖｉ ＝ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ ｕ ｐ ｉｋｘｋ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ ｕ ｐ ｉｋ （４） 式中：Ｃ 为聚类个数；Ｎ 为样本个数；ｕｉｋ为 ＦＣＭ 中的 模糊隶属度，表示第 ｋ 个样本点属于第 ｉ 个聚类中 心的隶属度，其取值范围为［０，１］；ｖｉ表示第 ｉ 类的 聚类中心；‖ｘｋ －ｖｉ‖２ 表示第 ｋ 个样本点相对于第 ｉ 个聚类中心的欧式距离；Ｐ 为模糊因子，它决定样本 在不同类中的模糊程度。 通过不断地更新迭代公式（ ３）、 （ ４），直到式 （１）中目标函数的值小于特定的值 ε 时或者相对于 上次的目标函数值的改变量小于特定的值时，停止 迭代。 ２．２ 部分监督的 ＦＣＭ 算法 Ｂｅｎｓａｉｄ 在经典的 ＦＣＭ 算法的基础上，提出了 一种部分监督聚类算法。 他提出的算法加强了标 记信息在聚类过程中的指导作用。 通过给标记样 本赋予较大的权重，使标记样本在聚类中心的形成 过程中发挥更重要的作用，提高了聚类的精度。 其 目标函数为 Ｊｍ（ｕ，ｖ：ｘ） ＝ ∑ ｃ ｉ ＝ １ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ ｕ ｐ ｉｋ‖ｘｋ － ｖｉ‖２ Ａ （５） 其聚类中心为 ｖｉ，ｔ ＝ ∑ ｎ ｋ ＝ １ ｗｋ （ｕ ｄ ｉｋ，ｔ） ｍ ｘ ｄ ｋ ＋ ∑ ｎ ｋ ＝ １ （ｕ ｕ ｉｋ，ｔ） ｍ ｘ ｕ ( ｋ ) ∑ ｎ ｋ ＝ １ ｗｋ （ｕ ｄ ｉｋ，ｔ） ｍ ＋ ∑ ｎ ｋ ＝ １ （ｕ ｕ ｉｋ，ｔ） ｍ （６） 模糊隶属度为 ｕ ｄ ｉｋ，ｔ ＝ ｆ ｉｋ （７） ｕ ｕ ｉｋ，ｔ ＝ １ ∑ ｎ ｊ ＝ １ （ ‖ｘ ｕ ｋ － ｖｉ，ｔ－１‖Ａ ‖ｘ ｕ ｋ － ｖｊ，ｔ－１‖Ａ ） ２ ｍ－１ （８） 式中：聚类中心中的 ｗｋ 为权重因子，ｗ ＝ ［ｗ１ ｗ２… ｗｎｄ ］ Ｔ ，文中使 ｗｋ ＝ｗ，其中 ｗ 为具体的数值，表示标 记样本的数量，通过对少量的标记样本进行增加权 重，可以更好地加强标记样本的作用；模糊隶属度 为 ｕｉｋ，表示第 ｋ 个样本点相对于第 ｉ 个聚类中心的 模糊隶属度，其取值范围为［０，１］；ｕ ｄ ｉｋ，ｔ ＝ ｆ ｉｋ表示部分 监督样本的模糊隶属度；ｕ ｕ ｉｋ，ｔ 表示无监督样本的模 糊隶属度；其中 ‖ｘＫ － ｖｉ‖２ Ａ ＝ （ｘｋ － ｖｉ） ＴＡ（ｘｋ － ｖｉ） （９） Ａ 是任何的正定矩阵。 ２．３ 基于样本分布先验的半监督 ＦＣＭ 算法 基于样本分布先验的半监督 ＦＣＭ 的目标函 数［１９］如下： Ｊ ＝ ∑ ｃ ｉ ＝ １ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ ｕ ｐ ｉｋｄ ２ ｉｋ ＋ α ∑ ｃ ｉ ＝ １ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ （ｕｉｋ － ｆ ｉｋ ｂｋ） ｐ ｄ ２ ｉｋ （１０） 式中：标记样本的隶属度 Ｆ ＝ ［ ｆ ｉｋ ］， ｉ ＝ １，２，…，Ｃ； Ｎ＝ １，２，…，ｎ；ｄｉｋ表示第 ｋ 个样本点相对于第 ｉ 个聚 类中心间的欧式距离；通常情况下模糊因子取经验 值 ｐ ＝ ２；α 是使监督和无监督样本之间保持相对平 衡的因子，其中 α 本文选取的是传统的半监督 ＦＣＭ 算法中 α 的取值，即总样本和标记样本数量之比。 为区分标记样本和未标记样本，引入了二值向量ｂ ＝ ｂｋ，其中 ｋ ＝ １，２，…，ｎ，标记样本时 ｂｋ ＝ １，相反未标 记样本时 ｂｋ ＝ ０。 为了增强标记样本的监督作用，在计算模糊隶 属度和聚类中心时分别引入了样本的分布信息。 本文通过在式（１５）、（１６）、（１７） 中引入两个权重 θ 和 β，其中 θ 表示标记样本的权重，β 表示未标记样 本的权重。 通过 θ 和 β 来指导实现聚类的过程。 ｑ ＝ Ｍ／ Ｎ （１１） ｒ ＝ （Ｎ － Ｍ） ／ Ｎ （１２） θ ＝ １ － ｑ （１３） β ＝ １ － ｒ （１４） 式中：ｑ 表示标记样本的先验概率；Ｍ 表示标记样本 的数量；Ｎ 表示总样本的数量；ｒ 表示未标记样本的 先验概率；（Ｎ－Ｍ）表示未标记样本的数量。 通过优 化目标函数，标记样本的模糊隶属度为 ｕ Ｌ ｉｋ ＝ θ × １ １ ＋ α （ １ ∑ ｃ ｊ ＝ １ ｄ ２ ｉｋ ｄ ２ ｊｋ ＋ αｆ ｉｋ） æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ （１５） 未标记样本的模糊隶属度为 ｕ ｕ ｉｋ ＝ β × １ ∑ ｃ ｊ ＝ １ ｄ ２ ｉｋ ｄ ２ ｊｋ æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ （１６） 聚类中心为 ｖｉｋ ＝ ∑ｘｋ∈ｘ ｄ （θｕ Ｌ ｉｋ） ２ ｘｋ ＋ ∑ｘｋ∈ｘ ｕ （βｕ ｕ ｉｋ） ２ ｘｋ ∑ｘｋ∈ｘ ｄ （θｕ Ｌ ｉｋ） ２ ＋ ∑ｘｋ∈ｘ ｕ （βｕ ｕ ｉｋ） ２ （１７） 第 ５ 期 姜婷，等：基于分布先验的半监督 ＦＣＭ 的肺结节分类 ·７３１·