第四章函数的连续性 习题 §1连续性概念 1.按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f()=1 (2)f(x)= 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f(x)=x+ (2)f(x)= sIn x (3)f(x)=cos x] (4)f(x)=思gx; (5)f(x)=sgn(cos x) x,x为有理数 (6)f(x -x,x为无理数 x+7 (7)f(x) x,-7≤x≤1 (x-1sin 1<x<+∞ 3.延拓下列函数,使其在R上连续: (1)f(x)=x-8 (2)f(x)= OSx (3)(x)=xcos 4.证明:若∫在点x连续,则与尸2也在点x连续。又问:若/与f2在/上连续, 那么∫在上是否必连续? 5.设当x≠0时f(x)=g(x,而f(0)≠g(0)。证明:f与g两者中至多有一个在x=0 连续 6.设∫为区间/上的单调函数。证明:若x∈为∫的间断点,则x0必是∫的第一类间 断点 7.设∫只有可去间断点,定义g(x)=lmf(),证明:g为连续函数 8.设∫为R上的单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明:g在R上每一点都右连续 举出定义在[]上分别符合下述要求的函数1 第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） ( ) x f x 1 = ； （2） f (x) = x 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1） ( ) x f x x 1 = + ； （2） ( ) x x f x sin = ； （3） f (x) = cos x  ； （4） f (x) = sgn x ； （5） f (x) = sgn(cos x) ； （6） ( )    − = 为无理数； 为有理数， x x x x f x , , （7） ( ) ( )          + − − −   −   − + = x x x x x x x f x ,1 1 1 1 sin , 7 1 , 7 7 1 3． 延拓下列函数，使其在 R 上连续： （1） ( ) 2 8 3 − − = x x f x ； （2） ( ) 2 1 cos x x f x − = ； （3） ( ) x f x x 1 = cos . 4． 证明：若 f 在点 0 x 连续，则 f 与 2 f 也在点 0 x 连续。又问：若 f 与 2 f 在 I 上连续， 那么 f 在 I 上是否必连续？ 5． 设当 x  0 时 f (x)  g(x) ，而 f (0)  g(0) 。证明： f 与 g 两者中至多有一个在 x = 0 连续 6． 设 f 为区间 I 上的单调函数。证明：若 x  I 0 为 f 的间断点，则 0 x 必是 f 的第一类间 断点 7． 设 f 只有可去间断点，定义 g(x) f (y) y→x = lim ，证明： g 为连续函数 8． 设 f 为 R 上的单调函数，定义 g(x) = f (x + 0) ，证明： g 在 R 上每一点都右连续 9． 举出定义在 0,1 上分别符合下述要求的函数：