《数学分析(1,2,3)》教案 第二章极限与连续 §1数列的极限与无穷大量 ◆引言 为了掌握变量的变化规律,往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量 它开始是1,然后为234……如此,一直无尽地变下去,虽然无尽止,但它的变化有一个趋势, 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说,这个变量的极限为0。所以,我们有必要 对极限作深入研究。 数列极限的定义 1数列的定义 定义:若函数∫的定义域为全体正整数集合N,则称∫:N→R为数列。 注:记f(n)=an,则数列f(n)就可写作为:a,a2…,an…,简记为{an}。 2数列的例子 1 I j23…(2){1+}:21+,1+1,1+2,…(3){m2}:14.1625 2、什么是数列极限 引言 容易看出,数列 2}的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。 一般地说,对于数列{an},若当n无限增大时,an能无限地接近某一个常数a,则称此数列为收敛 数列,常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列 据此可以说,数列 是收敛数列,0是它的极限 数列{n),(1+(-))都是发散的数列 需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法, 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 1为例,可观察出该数列具以下特性: 随着n的无限增大,a=1-1无限地接近于1→随着n的无限增大,1-1与1的距离无限减少→ 随着n的无限增大,|1---1限减少→>|1---1会任意小,只要n充分大 n《数学分析（1，2，3）》教案 2-1 第二章 极限与连续 §１ 数列的极限与无穷大量 ◆ 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量， 它开始是１，然后为 1 1 1 1 , , , , , 234 n 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势， 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。所以，我们有必要 对极限作深入研究。 一 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称 f N R : + → 为数列。 注：记 ( ) n f n a = ，则数列 f n( ) 就可写作为： 1 2 , , , , n a a a ，简记为 an。 ２ 数列的例子 （1） 1 1 1 1 :1, , , , n 234       ；（2） 1 1 1 1 1 : 2,1 ,1 ,1 , n 4 3 5     + + + +   （3）   2 n :1,4,9,16,25, 2、什么是数列极限 １．引言 容易看出，数列 1 2 n       的通项 1 2 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列 an ，若当 n 无限增大时， n a 能无限地接近某一个常数 a ，则称此数列为收敛 数列，常数 a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。 据此可以说，数列 1 2 n       是收敛数列，０是它的极限。 数列     2 1 , 1 ( 1)n n + + − 都是发散的数列。 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法， 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 以 1 1 n     −   为例，可观察出该数列具以下特性： 随着 n 的无限增大， 1 1 n a n = − 无限地接近于 1 → 随着 n 的无限增大， 1 1 n − 与１的距离无限减少 → 随着 n 的无限增大， 1 |1 1| n − − 无限减少 → 1 |1 1| n − − 会任意小，只要 n 充分大