若每个人阳性的概率均为p,且互相独立,哪种方法较好? 解:显然k个人混合后阳性的概率为1-q,此时每个人所需验血次数X为一随机变量,其分布列 kq ECX (1+)1-q5) 显然若q个0就能减少化验次数。例如若取p=01,k=9k=04061,此时要 用分组的方法平均可减少40%的工作量。显然p越小,此种方法越有利。若p已知,还可选择k使 E(X)最小,此时最节省人力物力。如果在实际工作中采用此种方法,则应注意混合后当一组中 只有一人阳性时仍可化验出来。若实际化验灵敏度达不到这一要求,化验结果可能出错。 对连续随机变量,则需采用下面的定义: 定义:设连续型随机变量X的分布密度函数为(x),当积分[xf(x)d绝对收敛时,我们称它的 极限为X的数学期望(或均值),记为E(X)。若积分不绝对收敛,则称X的数学期望不存在 例28求下列连续型随机变量的数学期望 均匀分布 a≤x f(x)=b-a 0其他 E(X)=Lrf(x)a 正态分布 ,(x-)2 ∫(x)= E(X)=xf(x)dx (令 1sx-4则x=+) G·+H d(a·t+) dt+ 前一项被积函数为奇函数,所以积分值为0:后一项是标准正态分布的密度函数,积分值 为1。因此有若每个人阳性的概率均为p，且互相独立，哪种方法较好？ 解：显然k个人混合后阳性的概率为1-q k，此时每个人所需验血次数X为一随机变量，其分布列 为：         − + k k q q k k 1 1 1 1 ∴ k q q k q k E X k k k 1 )(1 ) 1 1 (1 1 ( ) =  + + − = − + 显然若 0 1 −  k q k 就能减少化验次数。例如若取p=0.1，k=4，则 0.4061 1 − = k q k ，此时要 用分组的方法平均可减少40%的工作量。显然p越小，此种方法越有利。若p已知，还可选择k使 E(X)最小，此时最节省人力物力。如果在实际工作中采用此种方法，则应注意混合后当一组中 只有一人阳性时仍可化验出来。若实际化验灵敏度达不到这一要求，化验结果可能出错。 对连续随机变量，则需采用下面的定义： 定义：设连续型随机变量X的分布密度函数为f(x), 当积分   − xf(x)dx 绝对收敛时，我们称它的 极限为X的数学期望(或均值)，记为E(X)。若积分不绝对收敛，则称X的数学期望不存在。 例2.8 求下列连续型随机变量的数学期望： 均匀分布：       = − 0 其他 1 ( ) a x b f x b a   = + − −  = − = − = =   − b a b a b a b a x b a b a dx b a x E X x f x dx ( ) 2 1 2 2( ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 正态分布： 2 2 ( ) 2 1 2 1 ( )    − − =  x f x e e dx x E X x f x dx x 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) ( )     − − −  − = =    （令  −  = x t ，则 x = t +  ） t e dt e dt e d t t t t t     −  − − −  − − =  +   +  + = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2          前一项被积函数为奇函数，所以积分值为0；后一项是标准正态分布的密度函数，积分值 为1。因此有：