E(X)= 随机变量的函数的数学期望: 离散型:X的概率分布为:PX=x)=p,Y=g(x为X的函数,则Y的期望为 E()=E(8(X)=∑g(x)p 当然仍要求和式绝对收敛 连续型:X的分布密度函数为:y:y-g为x的函数,则若积分f(x)(x)dk绝对收敛, 则称其值为Y=g(x)的数学期望,记为E(g(X)。 数学期望的性质和运算(C,K为常数) 性质:E(C)=C E (X+C)=E(X+C E(KX)=K·E(X) E(KX+C)=K·E(X)+C 证:令g(X)=KX+C,则: X若为连续型,设fx为其密度函数,有: E(KX+C)=I(Kx+C)f(x)dx =K. x f(x)dx+c f()dx =K·E(X)+C X若为离散型:设P(x)=p,有: E(KX+C)=∑(Kx,+C)P K∑xP+C∑P E(X)+C 其余各式均为此式的特例 运算: 若X1,X2,…Xn期望均存在,则: E(a1X1+a2X2+…+anXn)=aE(X1)+a2E(X2)+…+anE(Xn) 这个式子实际上说明均值是线性的,这一点对均值的计算是很有用的 方差 随机变量的数字特征最重要的有两个,一个是前边讲的数学期望,它代表了随机变量的平 均值:另一个就是方差,它代表了随机变量对其数学期望的离散程度。 定义:若E(X-E(X)2存在,则称它为随机变量的方差,并记为D(X),而√D(X)称为X的 根方差或标准差 例2.9证明:D(X=E(X2)-[E(X) 证:D(X)=E(X-E(X) =E[X2-2X·E(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]E（X）=μ 随机变量的函数的数学期望： 离散型：X的概率分布为：P(X=xi) = pi,， Y=g(X)为 X 的函数，则 Y 的期望为： i i E(Y) = E(g(X)) = g(xi ) p 当然仍要求和式绝对收敛。 连续型：X的分布密度函数为：f(x)： Y=g(X)为 X 的函数，则若积分   − f (x)g(x)dx 绝对收敛， 则称其值为Y=g(X)的数学期望，记为E(g(X))。 数学期望的性质和运算（C，K 为常数）： 性质： E（C）= C E（X+C）= E（X）+ C E（KX）= K·E（X） E（KX+C）= K·E（X）+ C 证：令 g(X) = KX+C，则： X 若为连续型，设 f(x)为其密度函数，有： K E X C K x f x dx C f x dx E KX C Kx C f x dx =  + =   + + = +     −  −  − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X 若为离散型：设 P(xi)=pi，有： K E X C K x p C p E KX C Kx C p i i i i i i i i =  + =  + + = +     ( ) ( ) ( ) 其余各式均为此式的特例。 运算： 若 X1，X2，… Xn 期望均存在，则： E（a1 X1+a2 X2+…+a nXn）=a1E(X1)+a2E(X2)+…+anE(Xn) 这个式子实际上说明均值是线性的，这一点对均值的计算是很有用的。 二、方差 随机变量的数字特征最重要的有两个，一个是前边讲的数学期望，它代表了随机变量的平 均值；另一个就是方差，它代表了随机变量对其数学期望的离散程度。 定义：若 E（X-E（X））2 存在，则称它为随机变量的方差，并记为 D（X），而 D(X) 称为 X 的 根方差或标准差。 例 2.9 证明：D(X)=E(X 2）-[E(X)] 2 证：D（X）=E(X-E(X))2 =E[X2 -2X·E(X)+(E(X))2 ] =E(X2 )-2E(X) ·E(X)+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2