·1004· 工程科学学报，第38卷，第7期 为了避免复杂的留数计算与周线积分，假设B>《,将 0.35 式(15)整理为级数形式 0.30 a.a,）=40--)11方 （-1)入-B. 。 0.25 s-al-a 0.20 (16) -+1 、k+1 0.15 +w2A8) —4=0.9 0.10 对上式进行Laplace逆变换，利用广义Mittag-Leffler函 +=1.3 0.05 数的拉普拉斯变换性质 L{}=g(d,0n 0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 (17) 图1当B=0.6、A=1、t=0.1和v=h=1时，a对速度的影响 Fig.1 Variation of velocity u(y,t)for different a values,in which 得到 B=0.6,A=1,t=0.1andv=h=1 a4-an… 0.35 =0.4 (18) 0.30 B=-0.6 +-B=0.8 0.25 其中En()和E(a)分别是Mittag-Leffler函数和它 的k阶导数 0.20 再对(18)进行傅里叶正弦逆变换，得速度场的解 0.15 析解为 0.10 -2含40的含. 0.05 ()(受）o 00.10.20.30.4050.60.70.80.91.0 当B<α时，利用相同的计算步骤可得 图2当a=0.9、A=1、t=0.1和v=h=1时，B对速度的影响 6W-2g4n-凹宫会6w Fig.2 Variation of velocity u(y,t)for different B values,in which a=0.9,A=1,t=0.1andy=h=1 中。 w-E9a（-u2A-8)sin(T）(20) 0.35 -=0.1 0.30 当B=a时，即 -1=03 u(,)=2方40-(-1)】1 +-1=05 0.25 h 1+wa. 0.20 (21) 0.15 0.10 3数值模拟及结果讨论 0.05 对上述的问题求得的解析解，采用Stehfest算法进 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 行数值模拟，得到如下图1~图11. y 图1~图4分别给出分数阶参数α~B、延迟时间入 图3当a=0.9、B=0.6、t=0.1和v=h=1时，A对速度的影响 以及时间t对二阶流体速度的影响.当α>1时流动对 Fig.3 Variation of velocity u(y,t)for different A values,in which a=0.9,B=0.6,t=0.1andv=h=1 应超扩散：α=1为正常扩散：<1对应亚扩散.由图 1可知，α的值越大，流动速度越快.图2说明B的值 演化.图5可以看出，当≤1时，即对应亚扩散和正 越大，流动速度越慢.图3说明延迟时间越长，流动速 常扩散时，流场中没有速度过冲现象，并且α值越小， 度越慢.图4中，由于压力梯度为狄拉克6函数，随着 初始速度越大，随时间衰减的程度越强.在图6中，当 时间推移，流场的速度逐渐衰减。若想得到持续的流 α=1.3时，出现轻微速度过冲现象.图7有力地说明， 动，可以考虑在速度衰减过程中，再次进行脉冲加压。 随着α值的进一步增大，流体表现出弹性增大且速度 图5~图7给出不同α值时流场中心线处速度的 出现波动，即明显的速度过冲现象.当α=1.8时，由工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 为了避免复杂的留数计算与周线积分，假设 β ＞ α，将 式( 15) 整理为级数形式 us( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 νψ2 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k λ － βk － β · s － αk － ( α s β － α + 1 νψ2 nλβ ) k + 1 ． ( 16) 对上式进行 Laplace 逆变换，利用广义 Mittag--Leffler 函 数的拉普拉斯变换性质 L { － 1 k! s λ － μ ( s λ c) k + 1 } = t λk + μ － 1E( k) λ，μ ( ± ctλ ) ，Ｒe ( s) ＞ |c| 1/λ ( 17) 得到 us( n，t) = A［1 － ( － 1) n ］ νψ3 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! λ － βk － β t β( k + 1) － 1· E( k) β － α，β + αk ( － t β － α vψ2 nλβ ) ． ( 18) 其中 Eλ，μ ( z) 和 E( k) λ，μ ( z) 分别是 Mittag--Leffler 函数和它 的 k 阶导数． 再对( 18) 进行傅里叶正弦逆变换，得速度场的解 析解为 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ νψ3 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! λ － βk － β · t β( k + 1) － 1E( k) β － α，β + αk ( － t β － α v ψ2 nλβ ) ( sin nπy ) h ． ( 19) 当 β ＜ α 时，利用相同的计算步骤可得 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ ψn ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! ( νψ2 n ) k · t α( k + 1) － 1E( k) α － β，α + βk ( － v ψ2 nλβ t α － β ) ( sin nπy ) h ． ( 20) 当 β = α 时，即 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 1 + νψ2 nλα t α － 1· Eα，α ( － νψ2 n 1 + νψ2 nλα t ) α ( sin nπy ) h ． ( 21) 3 数值模拟及结果讨论 对上述的问题求得的解析解，采用 Stehfest 算法进 行数值模拟，得到如下图 1 ～ 图 11． 图 1 ～ 图 4 分别给出分数阶参数 α、β、延迟时间 λ 以及时间 t 对二阶流体速度的影响． 当 α ＞ 1 时流动对 应超扩散; α = 1 为正常扩散; α ＜ 1 对应亚扩散． 由图 1 可知，α 的值越大，流动速度越快． 图 2 说明 β 的值 越大，流动速度越慢． 图 3 说明延迟时间越长，流动速 度越慢． 图 4 中，由于压力梯度为狄拉克 δ 函数，随着 时间推移，流场的速度逐渐衰减． 若想得到持续的流 动，可以考虑在速度衰减过程中，再次进行脉冲加压． 图 5 ～ 图 7 给出不同 α 值时流场中心线处速度的 图 1 当 β = 0. 6、λ = 1、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，α 对速度的影响 Fig． 1 Variation of velocity u( y，t) for different α values，in which β = 0. 6，λ = 1，t = 0. 1 and ν = h = 1 图 2 当 α = 0. 9、λ = 1、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，β 对速度的影响 Fig． 2 Variation of velocity u( y，t) for different β values，in which α = 0. 9，λ = 1，t = 0. 1 and ν = h = 1 图 3 当 α = 0. 9、β = 0. 6、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，λ 对速度的影响 Fig． 3 Variation of velocity u( y，t) for different λ values，in which α = 0. 9，β = 0. 6，t = 0. 1 and ν = h = 1 演化． 图 5 可以看出，当 α≤1 时，即对应亚扩散和正 常扩散时，流场中没有速度过冲现象，并且 α 值越小， 初始速度越大，随时间衰减的程度越强． 在图 6 中，当 α = 1. 3 时，出现轻微速度过冲现象． 图 7 有力地说明， 随着 α 值的进一步增大，流体表现出弹性增大且速度 出现波动，即明显的速度过冲现象． 当 α = 1. 8 时，由 · 4001 ·