张艳等：广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 ·1003· 二阶流体的非定常流动.UIah和Maqbool研究不可 其中「(·)是伽玛函数 压缩二阶流体的精确解.Akinbobola和Okoya研究热 假设二阶流体速度为： 源对伸展板上二阶流体的流动的影响.针对广义二阶 V=u(y,t）i,S=S(y,t) (5) 流体，还有其他学者进行不同方面的探讨0-四 这里u是直角坐标系中x方向的速率，i是x方向的单 脉冲流动在工程实际中有广泛的应用，如血液在 位矢量. 血管中的流动和容积式泵输出的流体流动等.Fernan-- 将式（⑤）代入方程(2)，考虑到条件 dez-Feria和Alaminos-Quesada研究Maxwell模型下 S(y,0)=0,y>0, 脉冲流动，得到近似解.Wag等分析层流脉冲流动 以及应力张量S中的元素S,=S.=S.=S,.=0和 中热传递效应.关于脉冲在不同形状管道中的流动， S,=S.,方程(2)可简化为 众多学者进行多方面研究5刀 S.（y,t）=u(1+AD)a,u(y,t） (6) 由反常扩散理论得到启发，El-Shahed和Salem 其中S,（y,)=r(y,）是剪切力. 将N-S方程中时变加速项的时间一阶导数取代以分 不可压缩流体动量方程为 数阶导数，得到广义纳维一斯托克斯方程，更灵活地利 p品y=T+,T-1+s (7) 用分数阶微分方程描述流体控制方程.Momani和 其中p是流体的密度，b是质量力，T是柯西应力张量， Odibat在此基础上，利用Adomian分解法研究了特 -pl表示压力.将本构方程(6)代入动量方程(7)，考 殊流动形式下广义N-S方程的半分析解.Kumar四用 虑在相距为h的两个平板之间充满由方程(2)描述的 修正的拉普拉斯分解方法研究广义N-S方程的解析 黏弹性流体，由单位脉冲引起的泊肃叶流动，可得 解，然而将广义的分数阶本构关系和广义的分数阶动 量方程相结合的研究还未见报道. =A6(D+1+AD)g (8) at 受以上工作的启发，本文引入黎曼一刘维尔分数 将动量方程中的时变-加速度项替换为a阶Riemann一 阶微分建立广义二阶流体的本构方程，进一步将动量 Liouville分数阶导数，即 方程中速度对时间的导数替换为分数阶，将本构方程 Du（,）=A6()+m(1+AD9)u, 2 (9) 与动量方程相结合，研究广义二阶流体在平板上的脉 冲泊肃叶流动，利用傅里叶正弦变换、分数阶拉普拉斯 相应的初始条件与边界条件为： 变换以及广义Mittag--Leffler函数，得到问题的精确解 u(y,0)=0,0<y<h; (10) 析解.同时利用Stehfest算法1对结果进行数值模 u(0,t)=u(h,t)=0,t≥0. (11) 拟，通过图像讨论分数阶导数的阶数α~B、延迟时间入 2 控制方程的解析解 等参数对于脉冲流动的影响 对方程(9)作傅里叶正弦变换，即方程两边同乘 1 模型的建立与控制方程 以√2/msin（m),然后对y从0到进行积分，记 二阶流体本构方程如下： 么.(a,=2 sin (ni）a(d山，利用边界条件 o=us+uAs. (1) (11)得到 其中4为运动黏性系数，入为延迟时间.根据文献 23],由本构方程(1)得到其上随体模型： ra.a,）=40-（-)60-w1+p)ua,d. 中。 S=u(1+A)A. (2) (12) 其中S是额外应力张量，A=L+L是一阶里夫林一矣 其中中。=nπ/h,u(y,t)的傅里叶正弦变换u,（n,t)满 里克森张量，其中L是速度梯度，B是分数阶导数的 足以下条件： 阶数. u.(n,0)=0,n>0. (13) 用分数阶导数的拉普拉斯变换作用于方程(12)的两 上随体导数A的定义为 边，并利用初始条件(13)，得到 DA=DA+V VA-LA-ALT. (3) 豆.(，）=40-（-】-g1+）元.(a,, 其中V是速度，7是梯度算子，D:是黎曼一刘维尔型分 数阶导数，其定义如下： (14) wda盖， 4(m,）=40-(-1)] 1 s°+w(1+A) 0≤<1. (4) (15)张 艳等: 广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 二阶流体的非定常流动． Ullah 和 Maqbool［8］研究不可 压缩二阶流体的精确解． Akinbobola 和 Okoya 研究热 源对伸展板上二阶流体的流动的影响． 针对广义二阶 流体，还有其他学者进行不同方面的探讨［10--12］． 脉冲流动在工程实际中有广泛的应用，如血液在 血管中的流动和容积式泵输出的流体流动等． Fernan￾dez--Feria 和 Alaminos--Quesada［13］研究 Maxwell 模型下 脉冲流动，得到近似解． Wang 等［14］分析层流脉冲流动 中热传递效应． 关于脉冲在不同形状管道中的流动， 众多学者进行多方面研究［15--17］． 由反常扩散理论得到启发，El--Shahed 和 Salem［18］ 将 N--S 方程中时变加速项的时间一阶导数取代以分 数阶导数，得到广义纳维--斯托克斯方程，更灵活地利 用分数 阶 微 分 方 程 描 述 流 体 控 制 方 程． Momani 和 Odibat［19］在此基础上，利用 Adomian 分解法研究了特 殊流动形式下广义 N--S 方程的半分析解． Kumar［20］用 修正的拉普拉斯分解方法研究广义 N--S 方程的解析 解，然而将广义的分数阶本构关系和广义的分数阶动 量方程相结合的研究还未见报道． 受以上工作的启发，本文引入黎曼--刘维尔分数 阶微分建立广义二阶流体的本构方程，进一步将动量 方程中速度对时间的导数替换为分数阶，将本构方程 与动量方程相结合，研究广义二阶流体在平板上的脉 冲泊肃叶流动，利用傅里叶正弦变换、分数阶拉普拉斯 变换以及广义 Mittag--Leffler 函数，得到问题的精确解 析解． 同时利用 Stehfest 算法［21--22］对结果进行数值模 拟，通过图像讨论分数阶导数的阶数 α、β、延迟时间 λ 等参数对于脉冲流动的影响． 1 模型的建立与控制方程 二阶流体本构方程如下: σ = μ ε· + μλ ε ·· ． ( 1) 其中 μ 为 运 动 黏 性 系 数，λ 为 延 迟 时 间． 根 据 文 献 ［23］，由本构方程( 1) 得到其上随体模型: S = μ( 1 + λ D 槇β t ) A． ( 2) 其中 S 是额外应力张量，A = L + LT 是一阶里夫林--矣 里克森张量，其中 L 是速度梯度，β 是分数阶导数的 阶数． 上随体导数 D 槇α t A 的定义为 D 槇α t A = Dα t A + V Δ A － LA － ALT ． ( 3) 其中 V 是速度， Δ 是梯度算子，Dα t 是黎曼--刘维尔型分 数阶导数［24］，其定义如下: Dα t f( t) = 1 Γ( 1 － α) d dt ∫ t 0 f( τ) ( t － τ) α dτ， 0≤α ＜ 1． ( 4) 其中 Γ(·) 是伽玛函数． 假设二阶流体速度为: V = u( y，t) i，S = S( y，t) ． ( 5) 这里 u 是直角坐标系中 x 方向的速率，i 是 x 方向的单 位矢量． 将式( 5) 代入方程( 2) ，考虑到条件 S( y，0) = 0，y ＞ 0， 以及应力张量 S 中的元素 Syy = Szz = Sxz = Syz = 0 和 Sxy = Syx，方程( 2) 可简化为 Sxy ( y，t) = μ( 1 + λDβ t ) yu( y，t) ． ( 6) 其中 Sxy ( y，t) = τ( y，t) 是剪切力． 不可压缩流体动量方程为 ρ D Dt V = Δ T + ρb，T = － pI + S． ( 7) 其中 ρ 是流体的密度，b 是质量力，T 是柯西应力张量， － pI 表示压力． 将本构方程( 6) 代入动量方程( 7) ，考 虑在相距为 h 的两个平板之间充满由方程( 2) 描述的 黏弹性流体，由单位脉冲引起的泊肃叶流动，可得 u t = Aδ( t) + ν( 1 + λβ Dβ t )  2 u y 2 ． ( 8) 将动量方程中的时变--加速度项替换为 α 阶 Ｒiemann-- Liouville 分数阶导数，即 Dα t u( y，t) = Aδ( t) + ν( 1 + λβ Dβ t )  2 u( y，t) y 2 ． ( 9) 相应的初始条件与边界条件为: u( y，0) = 0，0 ＜ y ＜ h; ( 10) u( 0，t) = u( h，t) = 0，t≥0． ( 11) 2 控制方程的解析解 对方程( 9) 作傅里叶正弦变换，即方程两边同乘 以 槡2 /πsin ( yn) ，然后 对 y 从 0 到∞ 进 行 积 分，记 us( n，t) = 2 槡 /π ∫ ∞ 0 sin ( yn) u( y，t) dy，利用边界条件 ( 11) 得到 Dα t us( n，t) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn δ( t) － νψ2 n ( 1 + λβ Dβ t ) us( n，t) ． ( 12) 其中 ψn = nπ/ h，u( y，t) 的傅里叶正弦变换 us ( n，t) 满 足以下条件: us( n，0) = 0，n ＞ 0． ( 13) 用分数阶导数的拉普拉斯变换作用于方程( 12) 的两 边，并利用初始条件( 13) ，得到 s α us( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn － νψ2 n ( 1 + λβ s β ) us( n，s) ， ( 14) us ( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 s α + νψ2 n ( 1 + λβ s β ) ． ( 15) · 3001 ·