In[4]:=g]=D,192+2Dm *轨道角动量为零的有效拉普拉斯算符*) InL5]: =4rfrwfr,21glr,2]dr 0ut5=4xx2∥Rel>0- √ Mathematica表达式Dpsi[r,1 ambda],tr,n]]功能为,以r为变量对,)求n次偏导。幂 指数势函数()=ar的期望值为 Jd're'()()( 2)=4mar m2e-lMdr= 24/ma Tn+3) 即 G)-a)r,)=42+3 (8.2.13) 量纲分析要求 即耦合常数a的量纲为 则方程(8.2.13)的量纲也是正确的,即 对应的 Mathematica v4.0的指令为: MATHEMATICA V4. 0 In[6]:= (*积分* Out[6]= /[a]>0&& Re(n)>-3, 2-x-"Gamma(3+nl fe""drl 结合方程(82.12)和(8.2.13),可得能量表示为 2a(n+3) (8.2.14) 对于任何λ>0的值,这一能量解始终是能量值“真解”的上界:En≤E()通过求可使E() 取最小值的变分参数λ值,即解出λ-,就可以很容易地改进这一能量上限,使其逼近真解 显然,λ由下式给出In[4]:= [ ] [ ] [ ] [ , ],{ ,1} 2 _, _ : [ , ],{ ,2} D r r r g r λ = Dψ r λ r + ψ λ （* 轨道角动量为零的有效拉普拉斯算符 *） In[5]:= 4 r [r, ]g[r, ]dr 0 2 π ψ λ λ ∫ ∞ Out[5]= ] 2 , 4 [Re[ ] 0, 0 5 / 2 7 / 2 3 / 2 2 dr e r e If e r r r r ∫ ∞ − − −         > − − + π λ π λ π λ π λ λ λ λ λ 4 Mathematica 表达式 D[psi[r,lambda],{r,n}]功能为，以 r 为变量对Ψ( )求 n 次偏导。幂 指数势函数V 的期望值为 r,λ ( ) n r = ar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 2 2 3 3 * 2 3 , , 4 4 + ∞ + − Γ + Ψ Ψ = = ∫ ∫ n n r n d x r V r r a r e dr a λ π π λ π π λ λ λ λ . 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 * 3 2 3 , , 4 + Γ + ≡ Ψ Ψ = ∫ n n V r d x r V r r a λ λ λ λ . (8.2.13) 量纲分析要求 V → n = ar n aE− → E 即耦合常数 a 的量纲为 a → n+1 E . 则方程(8.2.13)的量纲也是正确的, 即 a −n λ → E E E n n = +1 − . 对应的 Mathematica V4.0 的指令为： ------------------------------------------------------------------------------ MATHEMATICA V4.0 ------------------------------------------------------------------------------ In[6]:= r E dr (* 积分 *) n 2λr 0 2 − ∞ + ∫ Out[6]= [Re[ ] 0& & Re[ ] 3,2 [3 ], ] 2 0 3 3 2 If n Gamma n e r dr n n r +n ∞ − − − − − ∫ > > − + λ λ λ ------------------------------------------------------------------------------ 结合方程(8.2.12)和(8.2.13)，可得能量表示为 ( ) ( ( ) ) n a n µ λ λ λ 2 3 2 2 2 Γ + E = + . （8.2.14） 对于任何λ > 0 的值，这一能量解始终是能量值“真解”的上界：Etrue ≤ E(λ)。通过求可使E(λ) 取最小值的变分参数λ 值，即解出λ min，就可以很容易地改进这一能量上限，使其逼近真解。 显然，λ min由下式给出