高等数学教案 第一章函数与极限 x)-A<E=1, 于是 x)=x)-A+Asx)-A+4K1+4 这就证明了在xo的去心邻域{x0<r-xd<6}内，x)是有界的. 定理3（函数极限的局部保号性） 如果x)→A(xxo),而且A>0(或A<0),那么存在常数0，使当0<-x0k6时，有x)>0(或 fx)<0). 证明：就A>0的情形证明. 因为mf=A,所以对于6=，36>0，当04-水8时，有 -4水6=号4fe-号0 定理3 如果)--040，那么存在点n的某一去心邻域，在该邻域内，有fpA利。 推论如果在的某一去心邻域内x)≥0（或x)s0),而且x)→Ax→xo),那么A≥0（或A≤0）. 证明：设fx)≥0.假设上述论断不成立，即设A<0,那么由定理1就有xo的某一去心邻域，在 该邻域内x)<0,这与x)≥0的假定矛盾.所以A≥0. 定理4（函数极限与数列极限的关系） 如果当x→xo时x)的极限存在，{xn}为x)的定义域内任一收敛于xo的数列，且满足xn ≠xo(neN,那么相应的函数值数列{m)}必收敛，且 lim f(x )lim f(x). 于t 证明设fx)→A(x→x),则Ve>0,38>0,当0<-xdk6时，有x)-A<e. 又因为xwxo(n→oo),故对6>0,3VeN,当>N时，有xw-xdk6. 由假设，xn≠xo(n∈N.故当>N时，0<m一xk6,从而x)-A<e,即 lim f(x)=lim f(x) 》x 5