366 北京科技大学学报 第35卷 +1=w(g)=(d-T)(x), (2)） 分析扁平型结构元素的尺度与谐波信号频率之间的 (地(x),w(x》=(红）+w(）=id(c.(3) 关系。 本文提出的形态非抽样小波所用形态算子为 式中，x为第j层信号集合，为第了层信号集 2(OC+C0).这种多尺度形态非抽样小波算法不 合，为信号分析算子，id为等同算子（即id(x)= 但继承了所有形态非抽样小波一般框架的性质，满 ),w为细节分析算子，为合成算子，T为数 足金字塔条件，满足分解的非抽样性，以及基」信 学形态运算.由于各种形态学算子及其组合形式都 号形态的非线性小波分解，并且它还具有以下特点 有各自的分析功能，所以在实际操作中可以按照分 ①形态尺度与分解层数的对应性.每一层小波分解 析处理的具体要求选择形态学运算. 对应一个尺度的结构元素，每层分解后得到的近似 形态非抽样 故障频率 信号和细节信号就是利用相应尺度的结构元素进行 小波分解厂 提取 故障信号 小波系数 特定小被系数 形态运算得到的结果，其物理意义更明确.②信号 软阈值降噪 基本波形保留性.式(4)所定义的近似信号是由形 故障时间 态学平均滤波变换器变换得到的，形态平均滤波运 特征提取L 时间-幅值图 S变换 降噪小波系数 (单颗率) 算的作用是消除信号上下凸起的尖峰，滤波后的信 号是对上一层近似信号不同尺度的平滑效果，保留 图1形态非抽样小波和S变换分析流程图 了原信号的基本波形特征. Fig.1 Flow chart of morphological un-decimated wavelet and 1.2S变换 S-transform analysis S变换首次是由Stockwell等提出的，它是对短i 本文利用形态非抽样小波构造方法的一般框 时傅里叶变换和连续小波变换的进一步扩展.该变 架及多尺度形态学平均(AVG)滤波器的基本概念， 换继承和发展了短时傅里叶变换和连续小波变换的 提出一种新的形态非抽样小波算法： 优点，采用了一种新的与频率有关的高斯窗函数， 也被称为“相位校正”的连续小波变换6，其分析结 +1=(e)=0C+C0)e,6+1g.(④ 果更加直观和易于理解，在信号特征提取和日标识 别方面具有广泛的应用7-10). y+1=g,)=id(e,-0C+c0)a,G+1go. 信号x(t)的一维连续S变换的公式为 (5) 乎((x),w(x)》=id(z) (6) S(T,f)= x(t)w(r-t,f)exp(-j2nft)dt.(8) -00 式中，90为单位结构元素，号0C+C0):,6+ 式中，x(t)为原始信号，S(r,f)为其S变换，t为信 1)90)表示对信号x利用结构元素(0+1)90进行形 号时间信息，T为S变换的高斯窗口在时间轴上的 态平均滤波运算，OC为开-闭运算，C0为闭-开运 位置，∫为频率，j为虚数单位，w为高斯窗函数. 算.在多尺度形态学变换中，每个尺度j对应的形 态学变换采用的结构元素为j90: w(t,f)=- exp 2r (9) j90=90⊕90⊕·⊕90(0-1次运算). (7) 离散S变换的公式为 结构元素是根据不同形态特征的信号来选取 Xn+e-2n2k2/n2ei2mkm/n,n≠0； 的.一般地，非平稳信号的突变点形态分为三种类 Sm,n]= k=0 1W-1 型，即阶跃型、屋顶型和凸缘型).经常选用的结构 N x[,n=0. 无=0 元素有扁平型、三角型和半圆型.在信号没有明显 (10) 形态特征的情况下，常常选用形状最简单、运算速 式中，m为时间采样点，n为频率采样点，Xm为 度最快的扁平型结构元素.从此算法公式中可以看 信号集合xm)的傅里叶变换，N为被分析信号采 出，结构元素的尺度与形态非抽样小波的分解层数 样点数 相对应，即第n层分解时结构元素的尺度为n.信 综上所述，在S变换中是以特殊母小波作小波 号的分解是将信号中不同形态的分量分解到各层细 变换，频率的倒数决定了高斯窗的尺度大小，使S 节信号和近似信号中，因此要根据所提取信息的形 变换具备了类似小波变换的多分辨率性)，并Ⅱ不 态米确定信号的分解层数.下节将利用仿真信号来 存在困扰Vigner-Ville分布的负频率和交叉干扰问· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 、 一可芍 一 `一 , , 少可 , , 、 一可 可 , 三 , 式中, 为第 层信号集合, 脚 为第 层信号集 合,叫为信号分析算子, 为等同算子即“ 学 ,形 , 弓态运为算细节由分于析各算种子形 ,态对学算为子合及成其算组子合 , 形为式数都 有各 自的分析功能, 所以在实际操作 中可以按照分 析处理的具体要求选择形态学运算 形态非抽样 故障频率 分析扁平型结构元素的尺度 , 谐波信号频率之间的 关系 本文提 出的形态非抽样 小波所 用形态算子 为 , 、 、、 , 一 一 , ,, 一 , … 、决 、一 。, 、 一 二 《' 送 种 多 尺 反 书 态 非 佃 件 小 数 异 法 小 特征提取 变换 故障信号 单频率 图 形态非抽样 小波和 变换分析流程 图 一 一 本文利用形态非抽 样小波构造方法的一般框 架及多尺度形态学平均 滤波器的基本概念, 提 出一种新的形态非抽样小波算法 , `一劝少 一万 , , , , 、一可一一` , 一 对可 , ,可 , , , 夕。, 匀 但继承 了所有形态非抽样小波一般框架的性质, 满 足金字塔条件, 满足分解 的非抽样性, 以及基一几信 号形态的非线性小波分解, 并且它还具有以下特点 ①形态尺度与分解层数的对应性 每一层 小波分解 对应一个尺度的结构元素 , 每层分解后得到的近似 信号和细节信号就是利用相应尺度的结构儿素进行 形态运算得到的结果, 其物理意义更 明确 ②信号 基本波形保留性 式 所定义的近似信号是 由形 态学平均滤波变换器变换得到的, 形态平均滤波运 算 的作用是消除信号上下凸起的尖峰 , 滤波后的信 号是对上一层近似信号不同尺度 的平滑效果, 保留 了原信号的基本波形特征 变换 变换首次是 由 等提 出的, 它是对短 时傅里叶变换和连续小波变换的进一步扩展 该变 换继承和发展 了短时傅里叶变换和连续小波变换的 优 点, 采用 了一种新的与频率有关的高斯窗函数, 也被称 为 “相位校正 ”的连续小波变换 , 其分析结 果更加直观和易于理解, 在信号特征提取和 口标识 别方面具有广泛的应用 一` 信号 城约 的一维连续 变换的公式为 一了卜成·, `勿一, `` ,二一,, ·“ , `·` , , 、一 、 一 , 、 , 二 , 式甲, 刀剿 豆结刊兀 索, 百 , , 。 表示对信号 利用结构元素 进行形 态平均滤波运算 , 为开一闭运算 , 为闭一开运 算 在 多尺度 形态学变换中, 每个尺度 对应的形 态学变换采用的结构元素为 式中, 为原始信号, 二, 为其 变换 , 为信 号时间信息, 二为 变换 的高斯窗口在时间轴上的 位置, 为频率, 为虚数单位, 二 为高斯窗函数 , , 、 尸产、 切、`, '一诀获 戈一不厂 夕。 夕。。夕。。 … ①夕。 一 次运算 离散 变换的公式为 、 一“兀, “, ”,矽“”` “, 务。 人无, `、矛︵﹃ 结构元 素是根据 不同形态特征的信号来选取 的 一般地, 非平稳信号的突变 点形态分为三种类 型, 即阶跃型 、屋顶型和凸缘型 经常选用的结构 元素有扁平型 、三 角型和半圆型 在信号没有明显 形态特征的情况下 , 常常选用形状最简单 、运算速 度最快 的扁平型结构元素 从此算法公式中可 以看 出, 结构元素的尺度与形态非抽样小波 的分解层数 相对应 , 即第 层分解时结构元素的尺度为 信 号的分解是将信号中不同形态的分量分解到各层细 节信号和近似信号 中, 因此要根据所提取信息的形 态来确定信号的分解层数 下节将利用仿真信号来 又 」, 一 ,、了、 一 饥 式中, 。 为时间采样点, 为频率采样点, 为 信号集合 城二」的傅里叶变换 , 为被分析信号采 样点数 综上所述 , 在 变换中是以特殊母小波作小波 变换 , 频率的倒数决定 了高斯窗的尺度大小 , 使 变换具备了类似小波变换 的多分辨率性冈, 并且不 存在困扰 一 分布的负频率和交叉干扰 问