Vol.21 No.1 上金安等：一种新的晰裂表面分形测量方法 ·7· abcd所包围的粗糙表面面积可以近似地通过下 A(6)c62-b (6) 式计算： 式中，D。是粗糙表面的真实分形维数.与尺码法 A,(⊙)(1/2)82+(h-h]262+(h-h)门12+ 不同的是，投影覆盖法用尺寸为6×δ的投影网 [62+(h4-h)]12[62+(hk-h)T2}() 格覆盖断裂表面，这样，可直接测定粗糙表面的 真实分形维数D、E[2,3). (a) 2断裂表面的直接分形测量 直接测定断裂表面分形维数，首先要考虑采 用何种测量技术.目前，对粗糙表面的测量技术 大致可分为机械式和光学式2种，为避免机械探 针沿粗糙表面作滑行测量时划伤表面并引起测 量误差，本研究应用无接触式激光表面测量仪对 断裂表面进行扫描测量4刀.按照三角反射原理， 由激光源发射的光束射在断裂表面上形成！个微 (b) 小的光点，部分光束按一定的角度从测量表面反 射到光敏传感器(PSD),当光源与测量表面的距 离发生变化时，反射光将照在PSD的不同位置， 光电数字转换器将同时产生与测距成比例的电 以哭 子信号，这样，可以测量出粗糙表面的起伏.本研 究所用的激光扫描仪量程30cm,测量精度±7μ m,分辨率7.5μm 图2是应用激光表面测量仪测出的砂岩剪切 图1投影覆盖法 断裂表面形态.在20mm×20mm的测量区域内， 有81条扫描线，6561个测点，测点间距0.25 第k次测量尺度下测得的整个粗糙表面面积 mm.根据投影覆盖法，断裂表面的分形维数Ds 为： 可以通过A,(ò)-6双对数曲线斜率直接确定，即： N(O) A,(⊙)=∑A,(⊙) (2) D=2-B(图3). k= 式中，W(6)是需要尺寸为6×6的格子去覆盖粗 糙表面的总数目，显然，粗糙表面的总面积A(ò) 取决于测量尺寸δ，6越小，测量到的A(⊙)越大： 当60，A,(6)则是通近该粗糙表面的真实面积. 由分形理论可知，一个分形体在E维欧氏空 间的测度一般可以表示成： G(6)=G85-D (3) 式中，E表示欧氏维数.该式可以用于测量分形曲 线、面积和体积.例如，如果E=1,G和δ则对应 图2激光扫描测量的岩石断裂表面 于分形曲线，此时，公式(3)写成： 如图3所示，岩石断裂表面不具有严格自相 L(⑥)=L.δ'-D (4) 似分形性质，不同尺度6下的对数分段线性表明 同理，如果E=2,式(3)中的G和6对应于分 断裂面粗糙性呈多尺度分形特征.断裂表面的分 形面积，公式(3)则可写成： 形维数取决于投影覆盖测量网格尺度δ，即δ越 A()=A62-D (5) 小，测得的分维越大；反之，6越大，分维越小.断 式中，A是粗糙表面的直观面积.由式(2)和(5)， 裂表面的分形尺度效应显示，断裂表面可能具有 有如下关系： 多重分形性质，有关这方面的研究将另文讨论.V o l . ZI N O . l I 金 安等 : 一种新 的 断裂 表面分形 测 量 方法 ab c d 所 包 围的 粗 糙 表 面 面 积 可 以 近 似 地 通 过 下 式 计算 : A * (d ) 一 ( l / 2) 王[d , + ( h 。 * 一 h* ) 2 ] “ 2 [占, + (h * 一 h 。 * ) , ] ’ ` ’ + [d , + ( h 。 *一 h 。* ) , ] ’ ` ’ [d , + (h 。* 一 h * ) , ] ’ ` ’ } ( l ) A T ( d ) OC d , 一 D S ( 6 ) 式 中 , D , 是 粗 糙 表 面 的真实 分 形 维 数 . 与 尺 码 法 不 同 的是 , 投 影 覆 盖 法 用 尺 寸 为 d x d 的投 影 网 格 覆 盖 断 裂 表 面 , 这样 , 可 直 接 测定 粗糙 表 面 的 真实 分形 维数 D s ` 2[ , 3) . 2 断裂表面的直接分形测量 图l 投影覆盖 法 第 k 次测 量尺 度下 测得 的整 个粗糙 表面 面 积 A · (d ) 一 *菩 土 A * (。) (2 ) 直 接测 定 断裂 表 面分 形 维数 , 首 先要 考 虑 采 用何种 测 量 技 术 . 目 前 , 对粗 糙 表 面 的 测 量 技 术 大致 可分 为 机 械式 和 光学 式 2 种 . 为避 免 机械 探 针沿 粗 糙 表 面 作 滑 行 测 量 时 划 伤 表 面 并 引起 测 量误 差 , 本研 究 应 用无 接 触式 激 光 表 面测 量 仪 对 断 裂表 面 进行 扫 描 测 量 14, 7〕 . 按 照 三 角反 射 原 理 , 由激光 源 发射 的光束 射在 断裂 表 面上形 成 1 个 微 小 的光点 , 部 分 光束 按 一 定 的角 度 从 测量 表 面反 射到 光 敏 传感 器 ( P S D ) , 当光 源 与 测 量 表 面 的距 离 发生 变 化 时 , 反 射 光 将 照在 P S D 的不 同位 置 , 光 电数 字 转 换 器 将 同时 产 生 与测 距 成 比 例 的 电 子 信 号 , 这样 , 可以 测 量 出粗糙 表面 的起 伏 . 本研 究 所 用 的激 光 扫描 仪量 程 3 0 c m , 测量 精 度 士 7 卜 m , 分 辨 率 7 . 5 协m 图 2 是 应用激 光表 面测 量仪 测 出的砂 岩剪 切 断 裂表 面 形 态 . 在 2 0 m m x 2 0 m m 的测 量 区 域 内 , 有 81 条 扫 描 线 , 6 56 1 个 测 点 , 测 点 间 距 .0 25 m m . 根 据 投 影 覆 盖 法 , 断 裂 表 面 的 分 形 维 数 D s 可 以 通过 A T (d )才 双对 数 曲线斜率 直 接确定 , 即 : D 、 一 2 一 口( 图 3 ) · 式 中 , N( d ) 是 需 要 尺 寸 为d x d 的格 子 去 覆盖 粗 糙 表面 的总 数 目 . 显 然 , 粗糙 表 面 的总 面积 人 (d ) 取决 于 测量 尺寸占 , 6 越 小 , 测 量 到的 A T (d )越 大 ; 当 。。 0 , 杏(d )则是 逼 近该粗糙 表 面 的真实 面 积 . 由分 形理 论可 知 , 一个 分 形体 在 E 维 欧 氏空 间的测度一般 可 以表 示成 l8] : G (d ) 一 G o d E 一 ” (3 ) 式 中 , E 表示欧 氏维数 . 该式 可 以 用于 测 量分形 曲 线 、 面积 和 体积 . 例 如 , 如 果 E = 1 , G 和d 则 对 应 于分形 曲线 , 此时 , 公式 ( 3) 写成 : L (d ) = L o d , 一 ” ( 4 ) 同理 , 如果 E 二 2 , 式 ( 3) 中 的 G 和d 对应于 分 形 面积 , 公式 (3 )则可写成 : A T (d ) = A T d , 一 ” S ( 5 ) 式 中 , A : 是粗 糙 表面 的直观 面积 · 由式 (2) 和 (5) , 有如 下关 系 : 图2 激光扫描测最 的岩石断裂表面 如 图 3 所示 , 岩 石 断 裂表 面 不具 有 严 格 自相 似 分 形性 质 . 不 同尺 度 d 下 的对数 分段 线 性 表 明 断 裂 面粗糙 性 呈 多 尺度 分 形 特征 . 断 裂 表 面的 分 形 维 数 取 决 于 投影 覆 盖测 量 网格 尺 度 d , 即d 越 小 , 测 得 的分 维越 大 ; 反 之 , j 越 大 , 分 维 越 小 . 断 裂 表面 的分 形 尺度 效应 显 示 , 断裂 表 面 可能具有 多重 分形 性质 , 有关 这方 面 的研 究 将 另文讨 论