8· 北京科技大学学报 1999年第1期 0.05 于所有8≤6。，E可以被边长为6的N,(E)≤6'个 区段覆盖.同理，F可以被N(E)≤6个区段覆 0.04 盖.因此，E×F由这些边长为6区段之积 Dg=2.0366311 ⊙ 0.03 即N(E)N(F个方格覆盖.由于s<dimE和t> dimF,所以有： 0.02 N,(E×F)=6 -dim(EP=N,(回×N,(F8≤d'6'= 6-6+0 (10) 0.01 Dg=2.0130678 选择s等于dimE和t等于dimF,式(I0)中 0.00 山 的等式成立， -2.0 -1.5-1.0-0.5 0.0 例如，图5所示的Koch分形曲面是由Koch logo 曲线和与之垂直的直线段直积构造而成，直线的 图3面积与尺码的双对数曲线 ‘分形'维数是1，Koch曲线的分维D=1.2619 3与剖面分形测量的比较 根据式(10)，Koch分形曲面的分形维数是Ds =1+1.2619=2.2619. 为验证投影覆盖法，对相同断裂表面应用尺 码法式(4)分别测量沿x和y方向剖面的分形维 数，这样测定的剖面分形维数DE[1,2),为便于比 较投影覆盖法分形测量与剖面分形测量结果，先 讨论分形巢在笛卡尔坐标系下的直积结果， 设E是R空间的子集，F是R”空间的子集， 在笛卡尔坐标系下直积E×F定义为第1坐标在 E上，第2坐标在F上的点集，即 图5Koch分形曲面 ExF={(x,y)ER"+m:xEE,yEF)(7) 对于断裂表面，不同位置的剖面、不同方向 因此，如果E是在R空间的单位长度，F是在 的剖面上的粗糙性各不相同).为明确起见，在 R空间的单位长度，则E×F是在R3空间的单位 断裂表面内用尺码法分别沿相互垂直的x和y方 面积如图4.此种情况下用经典维数定义，明显地 向测量断裂剖面的分形维数，即. 有： L)=L31-o,,⑤)=L,d1-(I1) dim (EX F)=dim E+dim F (8) 这里，L,(6)和L,(⑥)分别是在尺度6下沿x和y方 向测量的断裂剖面长度，D,和D,是相应方向剖 R F 面的分形维数. 为比较直接投影覆盖法和剖面尺码法分形 EXF 测量结果，依据剖面分维测量得出的粗糙表面分 形维数由下式计算： D,克0，+) (12) 其中D,和D,分别是81个在x和y方向剖面 R 的分维平均值；D,(=D+D,)是粗糙表面内所有被 图4R空间单位长度与R空间单位长度直积 测量剖面的分维平均值.图6中的D、是用直接投 这个结果通常在‘光滑'情况下成立，其中E 影覆盖法测量的断裂表面分形维数.事实上，通 和F可以是光滑的曲线、表面或高维数的多边 过平均各剖面分维得到的分形维数D,反映的是 体.然而，式(8)对‘分形'维数并不总是成立 断裂表面的一种分形统计规律.通过比较，可以 的.对于分形维数，更一般的结果是不等式： 看出D。≤D。·如图所示，对于较平坦的断裂表 dim(E×F凡s dim E+dimF (9) 面，D,略小于D,,然而，Ds和D,的差异随表面 为了简明起见，取ECR,FCR.选择数s> 粗糙性的增加而增大.2种分形测量结果的关系 dimE和t>dimF,则存在1个6。>0的数，使得对 可由下式表述：北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 9 年 第1 期 0 . 5 0 0. 04 0 . 3 0 0 . 0 2 于所 有占` d 。 , E 可 以被 边 长 为占的 凡 (E ) ` 夕个 区 段 覆 盖 · 同 理 , F 可 以 被 凡 (E ) ` 涅 个 区段覆 盖 . 因 此 , E x F 由 这 些 边 长 为 d 区 段 之 积 即 N (习 N (月 个方 格 覆 盖 . 由 于 , < d汕 E 和 t > id m F , 所以 有 : 戈 (E x 月 一 d 一 idm(E ` 月 一凡 间 x 凡 因。 ` 占 一’ d 一` - d 一 ’( 十 )t ( 10 ) 选 择 : 等于 d而 E 和 t 等 于 d汕 F , 式 ( 10) 中 的等式成立 . 例如 , 图 5 所 示 的 oK hc 分形 曲面是 由 K oc h 曲线 和 与之垂 直 的直线段 直积 构造 而 成 . 直线的 `分 形 ’ 维 数是 1 , oK hc 曲线的分维 D = 1 . 2 61 9 . 根 据 式 l( 0) , K oc h 分 形 曲 面 的 分 形 维 数 是 D s = l + 1 . 2 6 1 9 = 2 . 2 6 19 . ǎ侧。 \ , 冬工罗 0 . 0 1 0 . 0 0 -2 .0 图3 一 1 . 5 一 1 . 0 刁.5 0 . 0 fo g 占 面积与尺码的双对教 曲线 3 与剖 面分形测量的 比较 为验 证投 影覆盖 法 , 对相 同断裂表 面 应 用尺 码 法 式 (4 )分 别 测 量 沿 x 和 y 方 向剖 面 的分 形 维 数 . 这样 测定 的剖 面分形 维数 D 以 1 , 2) . 为便于 较 投 影覆 盖法 分形 测量 与剖面 分 形测 量结 果 , 讨论分形集在 笛卡尔 坐标系下 的直 积结 果 . 霎 设 E 是 r 空间 的子集 , F 是 R 用 空 间的子 集 , 在 笛 卡尔 坐标 系下 直 积 E x F 定 义 为第 l 坐 标在 E 上 , 第 2 坐标 在 F 上 的点集 , 即 E x F = {x( , 夕) ` r + 门 : x 6 百 , 夕6 尸} ( 7 ) 因此 , 如 果 E 是 在 R 空 间 的单位 长度 , F 是 在 R Z 空 间的单位 长度 , 则 E x F 是在 护 空 间的单位 面积 如 图 4 . 此种 情 况下 用经 典 维数定 义 , 明 显地 有 : d而 (E x 月 = d im E + d而 F (8 ) 图5 “ 汤c h分形 曲面 对于断裂 表 面 , 不 同位置 的剖 面 、 不 同方 向 的剖面 上 的粗糙性 各不 相 同.16 7 ] . 为 明确 起见 , 在 断裂表面 内用尺 码法分别沿相 互垂 直 的 x 和 y 方 向测量 断裂剖 面的分形 维数 , 即 . x(L 句 = L沪 , 一 气 吞 (6) 一 气洲 一 马 (l l) 这 里 , xL (6 )和 吞必)分别是 在 尺度占 下沿 x 和 y 方 向测 量 的 断裂 剖 面 长度 , xD 和 几 是 相 应 方 向剖 面的分形维数 . 为 比较 直 接 投 影覆 盖 法 和 剖面 尺 码法 分形 测 量结果 , 依 据剖 面分 维测 量得 出 的粗糙表 面 分 形 维数由下式计算: 、 一 六 ` 氢叭 + 刃 ( 12 ) 图4 R 空间单位长度与r 空间单位长度直积 这个结 果通 常 在 ` 光 滑 ’ 情 况 下成 立 , 其 中 E 和 F 可 以 是 光 滑 的 曲 线 、 表 面 或 高 维 数的 多 边 体 . 然 而 , 式 (8 ) 对 ` 分 形 ’ 维 数 并 不 总 是 成 立 的 . 对于分 形 维数 , 更 一般的结果 是不 等式 : d而 (E x 月 ` d ha E + d im F ( 9 ) 为 了 简明起见 , 取 E c R , F c R . 选择 数 s > d而 E 和 t > d而 F, 则 存在 l 个 d>0 0 的数 , 使 得 对 其中 xD 和 乌 分别是 81 个在 二 和 y 方 向剖 面 的分维 平均值 ; 几卜。 汁几 )是 粗糙表 面 内所 有 被 测量 剖 面的分维平均值 . 图 6 中的 D s 是 用直接投 影 筱 盖 法 测 量 的 断裂 表 面分 形 维 数 . 事 实 上 , 通 过平 均各剖 面分 维得 到 的分形 维数 D 。 反 映 的是 断裂 表 面 的 一 种 分形 统 计规律 . 通 过 比 较 , 可 以 看 出 D s ` 几 . 如 图所 示 , 对 于 较 平 坦 的 断 裂 表 面 , D s 略小 于 几 , 然 而 , D 、 和 几 的 差 异 随表 面 粗糙 性 的增 加 而 增 大 . 2 种分形 测 量 结果 的关 系 可 由下式 表述 :