(1)对于1((1+c-)d,由于当x→0时,中2(1+e-) 2-,故当p<2时收敛当p≥2时发散 对于/+12(1+c-)d,当p>1时收敛当p≤1时发散 故当 2时/+1+2(1+e-)d收敛当p≥2或者p≤ 1时/+m+2(1+e-)d发散; 令 d 五、(本题7分)求cos2(sinx)的带 Peano余项的6阶 Maclaurin公式 解:s=x一量++(r) cos=1-+一司+o0() #o cos(sin c)=1-x2+3c-45c+o(r) 六、(本题8分)求lim{(=)+(=)+…+(-)+(=)鬥sin}, 其中p 解:由于in~是,故 im{[(=)+(=)2+…+(-)y2+(=)]sin-} 七、证明题(本题5分)如果0≤p≤1;a≥0.,β≥0,7≥0,而 且a+≥,则a2+P 证明:定义g(x)=x+-(x+),x≥0 有g(x)=plx-1-(x+B)2-1 由于0≤p≤1,x,B≥0,所以g(x)≥0,从而g(a)≥9(0)=0.即 +2≥(a+B)≥ 第5页(共5页)(1) 对于 R 1 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx，由于当x → 0时，ln(1+x) x p (1 + e −x ) ∼ 1 x p−1 , 故当p < 2时收敛,当p ≥ 2时发散； 对于 R +∞ 1 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx，当p > 1时收敛,当p ≤ 1时发散； 故当1 < p < 2时 R +∞ 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx收敛,当p ≥ 2或者p ≤ 1时 R +∞ 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx发散； (2) 令u = x 3 , R +∞ 0 √ xe−x 3 dx = 1 3 R +∞ 0 u − 1 2 e −u du = 1 3 Γ(1 2 ) = √ π 3 . 五、(本题7分) 求cos2 (sin x)的带Peano余项的6阶Maclaurin公式。 解：sin x = x − x 3 3! + x 5 5! + o(x 6 ), cos x = 1 − x 2 2! + x 4 4! − x 6 6! + o(x 6 ), cos2 u = 1+cos(2u) 2 , 故 cos2 (sin x) = 1 − x 2 + 2 3 x 4 − 14 45x 6 + o(x 6 ). 六、(本题8分) 求 lim n→∞ {[( 1 n ) p + ( 2 n ) p + · · · + (n − 1 n ) p + (n n ) p ] sin 1 n }， 其中p > −1 。 解：由于sin 1 n ∼ 1 n， 故 lim n→∞ {[( 1 n ) p + ( 2 n ) p + · · · + (n − 1 n ) p + (n n ) p ] sin 1 n } = Z 1 0 x p dx = 1 1 + p . 七、证明题(本题5分) 如果0 ≤ p ≤ 1; α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, 而 且α + β ≥ γ, 则α p + β p ≥ γ p 。 证明: 定义 g(x) = x p + β p − (x + β) p , x ≥ 0. 有 g 0 (x) = p[x p−1 − (x + β) p−1 ]. 由于0 ≤ p ≤ 1, x, β ≥ 0, 所以g 0 (x) ≥ 0, 从而g(α) ≥ g(0) = 0. 即 α p + β p ≥ (α + β) p ≥ γ p . 第5页 ( 共 5页)