第4期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·651· 具有不变性，但是冠状动脉系统的复杂性导致其 定义()为标称系统，其不确定性系统为 难以满足滑模控制的匹配条件。已证明，扰动观 元1=-b元1-c元2+d1 测器可以有效地克服非匹配不确定性对滑模控制 元2=-1(1+b)元1-1(1+c)元2+1+ (2) 系统的影响，因此本文结合微分积分终端滑模控 Ecoswt+u+dz 制方法和扰动观测器来解决不确定性冠状动脉系 式中：=[]为状态变量；d=[dd]代表系统的 统的混沌抑制问题。 不确定性；表示控制器的控制输入。 假设1系统不确定性d有界，即ld。≤d, 1数学模型及问题描述 d是未知的正实数。 冠状动脉本质上是一类肌型血管，其动态集 假设2d是慢时变扰动，即d≈02x1o 总参数模型为： 冠状动脉系统混沌抑制的目的是通过设计控 制器使得不确定性系统与标称系统同步，即 1=-bx1-CX2 2=-(1+b)x1-1(1+c)+1x+EcoswT (1) lime =02x (3) 式中：x1是血管内径变化差；x2是血管压力差； 式中：02x=[00],e=[e1e],e1=i-x和e2=2-x2o 1是时间变量；b、c、入为冠状动脉系统的集总参 根据式(3)的误差定义，由式(1)、2)可得 数；Ecosot表示系统受到周期性刺激。 e=-be-ce2+d 图1表示冠状动脉系统随着参数c变化的分 e2=-(0+b)e1-(a+c)e2+1e (4) 岔图。其中，初始条件为[x(0)x2(0)]=[0.20.2]; +31e1+W+d2 其他参数为b=0.15、1=-0.65、E=0.3和0=1：时间 定义=e1,=e1,对x和2分别求导，并将 序列为2π、4π、6π、10m和12元；时间周期为2m。类 式(4)代入，可得 似地，冠状动脉系统随着1和b的变化也存在分 元=龙 元2=1(c-b)元1-(b+1+c)元2-1c- 岔现象。选取参数b=0.15、1=-0.65、c=-1.7 (5) 3cxi元1-c-cd2+d1+1(1+c）d E=0.3和ω=1，在同样的初始条件下，冠状动脉系 根据假设2，d≈0，式(5)可以写成 统相平面图如图2所示。从图1、图2可见，冠状 元=F(元，d)+Bu 动脉系统在某些参数下处于混沌状态，其混沌抑 y=H() (6) 制问题具有挑战性。 式中：d=-cd2+λ(1+c)d1;B=[0-c];=[i1,; f(闭)=1(c-b)元1-(b+1+c)2-1c-3cx1元1元； 50 F元，d=[2f()+d；H(闭=元1。 假设3F(元，d和H()光滑且李导数存在。 根据假设3，可计算如下李导数LsH(优，d)=0, -2.0 -19 -1.8-1.7-1.6 -1.5 LgLrH(元，d)=-c≠0。可见式(4)的相对阶为2，因 (a)x,随c变化的分岔图 1.0 此模型(6)适用微分积分终端滑模方法。进一 步，该模型的输入输出方程可表示为： 0.5 人矿 5=L子H(优，d)+LaLFH(元，d)u (7) 式中：HGd山=(L,H优d ,F=f()+d。根据 -05 a元 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7-1.6 -1.5 式(6)、(7，该模型的输人输出方程可写为 b)x,随c变化的分岔图 i=f()+d-cu (8) 图1状态随着参数c变化的分岔图 2控制设计 Fig.1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c 本文采用微分积分终端滑模控制方法抑制冠 状动脉系统的混沌状态，设计微分积分终端滑模 面为 s=ep +aen (9) 式中：a是控制器设计参数；en=e1,e,=-en.(0)/a .16 -1.0 -0.5 0.51.01.5 ep+Beni en=()dr;B-0;Pu>qu>0; 图2冠状动脉系统的相平面图 P2>q2>0:且p,q均为正奇数。 Fig.2 Phase plane of the coronary artery system 定理1若定义式(9)为滑模平面，则状态变具有不变性，但是冠状动脉系统的复杂性导致其 难以满足滑模控制的匹配条件。已证明，扰动观 测器可以有效地克服非匹配不确定性对滑模控制 系统的影响，因此本文结合微分积分终端滑模控 制方法和扰动观测器来解决不确定性冠状动脉系 统的混沌抑制问题。 1 数学模型及问题描述 冠状动脉本质上是一类肌型血管，其动态集 总参数模型为： x˙1 = −bx1 −cx2 x˙2 = −λ(1+b)x1 −λ (1+c) x2 +λx 3 1 + E cosωτ (1) 式中：x 1 是血管内径变化差；x 2 是血管压力差； t 是时间变量；b、c、λ 为冠状动脉系统的集总参 数；Ecosωt 表示系统受到周期性刺激。 图 1 表示冠状动脉系统随着参数 c 变化的分 岔图。其中，初始条件为 [x1 (0) x2 (0)]T =[0.2 0.2]T ； 其他参数为 b=0.15、λ=−0.65、E=0.3 和 ω=1；时间 序列为 2π、4π、6π、10π 和 12π；时间周期为 2π。类 似地，冠状动脉系统随着 λ 和 b 的变化也存在分 岔现象。选取参数 b=0.15、λ=−0.65、c=−1.7、 E=0.3 和 ω=1，在同样的初始条件下，冠状动脉系 统相平面图如图 2 所示。从图 1、图 2 可见，冠状 动脉系统在某些参数下处于混沌状态，其混沌抑 制问题具有挑战性。 2 1 0 −1 −2 −2.0 −1.9 −1.8 x1 −1.7 c −1.6 −1.5 1.0 0.5 0 −0.5 −2.0 −1.9 −1.8 (a) x1 随 c 变化的分岔图 (b) x2 随 c 变化的分岔图 x2 −1.7 c −1.6 −1.5 图 1 状态随着参数 c 变化的分岔图 Fig. 1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 x1 −1 0 1 x2 图 2 冠状动脉系统的相平面图 Fig. 2 Phase plane of the coronary artery system 定义 (1) 为标称系统，其不确定性系统为 x˙¯1 = −bx¯1 −cx¯2 +d1 x˙¯2 = −λ(1+b) ¯x1 −λ (1+c) x¯2 +λx¯ 3 1+ E cosωτ+u+d2 (2) x¯ = [x¯1 x¯2] d = [d1 d2] u 式中： 为状态变量； 代表系统的 不确定性； 表示控制器的控制输入。 ∥d∥∞ ⩽ d 假设 ∗ 1 系统不确定性 d 有界，即 ， d *是未知的正实数。 假设 2 d 是慢时变扰动，即 d˙ ≈ 02×1。 冠状动脉系统混沌抑制的目的是通过设计控 制器使得不确定性系统与标称系统同步，即 lim t→∞ e = 02×1 (3) 式中：02×1=[0 0] e1 = x¯1 − x1 e2 = x¯2 − x2 T ，e=[e1 e2 ] T ， 和 。 根据式 (3) 的误差定义，由式 (1)、(2) 可得 e˙1 = −be1 −ce2 +d1 e˙2 = −(λ+bλ) e1 −(λ+cλ) e2 +λe 3 1 +3x1 x¯1e1 +u+d2 (4) x˜1 = e1 x˜2 = e˙1 x˜1 x˜2 ˙x˜2 定义 ， ，对 和 分别求导，并将 式 (4) 代入 ，可得 ˙x˜1 = x˜2 ˙x˜2 = λ (c−b) x˜1 −(b+λ+cλ) x˜2 −λcx˜ 3 1− 3cx1 x¯1 x˜1 −cu−cd2 +d˙ 1 +λ (1+c)d1 (5) d˙ 根据假设 2， 1 ≈ 0，式 (5) 可以写成 ˙x˜ = F(x˜,d)+ Bu y = H(x˜) (6) x˜ = [x˜1, x˜2] T f (x˜) = λ (c−b) x˜1 −(b+λ+cλ) x˜2 −λcx˜ 3 1 −3cx1 x¯1 x˜1 ( ˜x,d) = [ x˜2 f (x˜)+d ]T H(x˜) = x˜1 式中：d=−cd2+λ(1+c)d1；B=[0 −c] T ； ； ； F ； 。 假设 3 F(x˜,d) 和 H(x˜) 光滑且李导数存在。 LBH(x˜,d) = 0 LBLFH(x˜,d) = −c , 0 根据假设 3，可计算如下李导数 ， 。可见式 (4) 的相对阶为 2，因 此模型 (6) 适用微分积分终端滑模方法。进一 步，该模型的输入输出方程可表示为： y¨ = L 2 FH(x˜,d)+ LBLFH(x˜,d)u (7) L 2 FH(x˜,d) = ∂(LFH(x˜,d)) ∂x˜ 式中： ,F = f (x˜)+ d 。根据 式 (6)、(7)，该模型的输入输出方程可写为 y¨ = f (x˜)+ d−cu (8) 2 控制设计 本文采用微分积分终端滑模控制方法抑制冠 状动脉系统的混沌状态，设计微分积分终端滑模 面为 s = eD1 +αeI1 (9) eD0 = e1 eI1 = −eD1 eD1 = e˙ P11/q11 D0 +βeD0 eI1 = ∫ t 0 e q21/p21 D11 (τ)dτ 式中：α 是控制器设计参数； ， (0)/α； ； ；β>0；p11>q11>0； p21>q21>0；且 p，q 均为正奇数。 定理 1 若定义式 (9) 为滑模平面，则状态变 第 4 期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·651·