·652· 智能系统学报 第14卷 量[元云]将在有限时间T,内收敛至02x,其中 式中：z∈R1x1是观测器的状态变量；d∈Rx1为不确 Tn,为： 定性估计值；L∈R2为观测器增益变量。各参数 lep. len 矩阵描述为： a(1-921/p2)B(1-qm/p1) (10) 0 A= (c-b) -6+以+ewa-}=月 式中11是滑模ep,=0的到达时间。 证明所设计的滑动模态开始于仁0，所以 M= 0 -c-3cxi元 en,=-ae,成立。由于e=0(rdr,所以 定义估计误差ea为 Jo en=-aalps en a(t) (11) ea=d-d (19) 式中e,(O)=-eo,(O)/a。解式(11)可得e,的收敛时 假设4ea有界，即eal≤ei,其中e是未知的正 间为 实数。 le-la 由假设2可知d≈0。对式(19)求导，并将式 1= (12) a(1-q21/p21) (18)代入ea的导数，可得： 在滑模面s=0上eo,=-ae,表明滑模en,需要花 eH≈LB2P+L(B2L元+A元+B1u+M)- 费时间t,收敛至零。当eo,=0时，en,也会成功收 L(A元+B,u+B2d+M)= LB(d-L)+L2B2x-LB:d= (20) 敛至零。在=t,时，eo,可被描述为 LB2(d-d)=-LB2ea en,(Gi）=-Bu(Gi） (13) 解式(20)可得 由式(13)，e.(4)到en。=0时间为 ea exp(-LB2)ea(0) (21) len 可见，通过选取向量L保证LB2是正常数，可 io=B1-91P） (14) 保证估计误差eu在1→oo时指数收敛。因此，可由 式(9)的微分项和积分项相互独立，从s=0到 扰动观测器输出d代替式(16)中的d。 e,=0的时间为l11和to1之和，即有限收敛时间为 定理2在假设1至4下，针对冠状动脉系统 TDI=H1+101o 模型(2)，利用输入-输出动态方程(8)，定义微分 进一步，对式(9)求导并将式(8)代入可得 积分终端滑模面(9)，采用扰动观测器(18)，设计 5=a-(闭+d-cm+ (15) 微分积分终端滑模控制律(22)，则闭环混沌抑制 q11 系统是渐近稳定的。 式中：=Bea+a(au+Ben)mm。 为了获取微分积分终端滑模控制律，选取李 4=--A's-f闭-kgn+网-d p11 雅普诺夫函数V。=s2,对其求导可得。=55，并代 (22) 入式(15)，令。<0可得微分积分终端滑模控制律 式中k>eio 证明采用同样的李雅普诺夫函数 =kA-f国-ksgo+时- V。=s22,对其求导并将式(15)代入，可得 (16) 立=sPi-f()+d-c叫+sw (23) q11 式中：A= 9au-ea-≥E;k0:>0:ke>0。 将式(22)代入式(23)得 ε其他. 考虑A,参数>0满足： Vo=st-sekA-s/sl+ (24) (A-8-"）A≤<1 (17) sPup/-d-d-(ksgn(s)+ 911 为了保证。<0，参数k应满足k>1(1-)。 由于P>0,9>0,且P1>q,所以式(24)中所 将式(16)代入式(15)，并考虑条件(17)，可得当 有%-满足a->0。式(24)中的第1项和 k>d时，。<0。但在假设1中，d是未知的，所以6 第2项满足不等式(25)： 也是未知的，因此通过选取k保证。<0具有保守 sw-se2a-"kMA-s/小时= 性，而过于保守的k会恶化抖振现象，降低控制性能。 su-kelus+keAA-'s- 为解决d是未知的问题，本文设计扰动观测 se8-keMA-ls/ls≤ (25) 器估计系统不确定性，从而同时保证控制系统的 ws-k1s+kA-e2/-A-≤ 稳定性和控制性能。设计扰动观测器如下： ls]-k (1-6)s 立=-LB2P-L(B2Lx+A元+B1u+M) d=:+LR (18) 选择k>(1-)进而sψ-se2/-kAs/小<0。 进一步，式(24)中第3项可描述为：[ x˜1 x˜2 ]T TD1 TD1 量 将在有限时间 内收敛至 02×1，其中 为： TD1 =   eD1 (0)    1−q21/p21 α(1−q21/p21) +   eD0 (t11)    1−q11/p11 β(1−q11/p11) (10) 式中 t11 是滑模eD1 = 0 的到达时间。 eD1 = −αeI1 eI1 = ∫ t 0 e q21/p21 D11 (τ)dτ 证明 所设计的滑动模态开始于 t=0，所以 成立。由于 ，所以 e˙I1 = −α q21/p21 eI1 q21/p21 (t) (11) eI1 (0) = −eD1 式中 (0)/α 。解式 eI1 (11) 可得 的收敛时 间为 t11 =   eD1 (0)    1−q21/p21 α(1−q21/p21) (12) eD1 eI1 eD1 eD1 eD0 eD1 在滑模面 s=0 上 =–α ，表明滑模 需要花 费时间 t11 收敛至零。当 =0 时， 也会成功收 敛至零。在 t=t11 时， 可被描述为 e˙D0 (t11) = −β q11/p11 e q11/p11 D0 (t11) (13) eD0 由式 eD0 (13)， (t11) 到 =0 时间为 t01 =   eD0 (t11)    1−q11/p11 β(1−q11/p11) (14) eD0 式 (9) 的微分项和积分项相互独立，从 s=0 到 =0 的时间为 t11 和 t01 之和，即有限收敛时间为 TD1=t11+t01。 进一步，对式 (9) 求导并将式 (8) 代入可得 s˙ = p11 q11 e˙ (p11 /q11−1) D0 (f (x˜)+d −cu)+ψ (15) ψ = βe˙D0 +α ( e˙ p11/q11 D0 +βeD0 )q21/p21 式中： 。 V˙ 0 = ss˙ V˙ 0 < 0 为了获取微分积分终端滑模控制律，选取李 雅普诺夫函数 V0=s 2 /2，对其求导可得 ，并代 入式 (15)，令 可得微分积分终端滑模控制律 u= −1 c [ −ke |ψ| ( q11 p11) A −1 s |s| − f (x˜)−   k sgn(s)+ηs   −d ∗ 0 ] (16) A =    e˙ (p11/q11−1) D0 ,    e˙ (p11 /q11−1) D0     ⩾ ε ε 其他. 式中： ；k>0；η>0；ke>0。 考虑 A，参数 ϕ>0 满足： ( A−e˙ (p11/q11−1) D0 ) A −1 ⩽ ϕ < 1 (17) V˙ 为了保证 0 < 0 ，参数 ke 应满足 ke>1/(1−ϕ)。 k > d ∗ 0 V˙ 0 < 0 d ∗ 0 V˙ 0 < 0 将式 (16) 代入式 (15)，并考虑条件 (17)，可得当 时， 。但在假设 1 中，d *是未知的，所以 也是未知的，因此通过选取 k 保证 具有保守 性，而过于保守的 k 会恶化抖振现象，降低控制性能。 为解决 d *是未知的问题，本文设计扰动观测 器估计系统不确定性，从而同时保证控制系统的 稳定性和控制性能。设计扰动观测器如下： z˙ = −LB2P− L(B2Lx˜ + Ax˜ + B1u+ M) dˆ = z+ Lx˜ (18) z ∈ R 1×1 dˆ ∈ R 式中： 是观测器的状态变量； 1×1为不确 定性估计值；L∈R 1×2 为观测器增益变量。各参数 矩阵描述为： A= [ 0 1 λ(c−b) −(b+λ+cλ) ] ; B1 = [ 0 −c ] ; B2 = [ 0 1 ] ; M = [ 0 −λcx˜ 3 1 −3cx1 x¯1 x˜1 ] 。 定义估计误差 ed 为 ed = d −dˆ (19) e ∗ d e ∗ 假设 d 4 ed 有界，即|ed |≤ ，其中 是未知的正 实数。 由假设 2 可知 d˙ ≈ 0 。对式 (19) 求导，并将式 (18) 代入 ed 的导数，可得： e˙d ≃ LB2P+ L(B2Lx˜ + Ax˜ + B1u+ M)− L(Ax˜ + B1u+ B2d + M) = LB2(dˆ− Lx˜)+ L 2B2 x˜ − LB2d = LB2(dˆ−d) = −LB2ed (20) 解式 (20) 可得 ed = exp(−LB2)ed(0) (21) dˆ d ∗ 0 可见，通过选取向量 L 保证 LB2 是正常数，可 保证估计误差 ed 在 t→∞时指数收敛。因此，可由 扰动观测器输出 代替式 (16) 中的 。 定理 2 在假设 1 至 4 下，针对冠状动脉系统 模型 (2)，利用输入-输出动态方程 (8)，定义微分 积分终端滑模面 (9)，采用扰动观测器 (18)，设计 微分积分终端滑模控制律 (22)，则闭环混沌抑制 系统是渐近稳定的。 u = − 1 c −ke |ψ| q11 p11 A −1 s/ |s|− f (x˜)−[k sgn(s)+ηs]−dˆ (22) k > e ∗ 式中 d。 证 明 采用同样的李雅普诺夫函 数 V0=s 2 /2,对其求导并将式 (15) 代入，可得 V˙ 0 = s p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [f (x˜)+d −cu]+ sψ (23) 将式 (22) 代入式 (23) 得 V˙ 0 = sψ− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s|+ s p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [d −dˆ−(k sgn(s)+ηs)] (24) e˙ (p11/q11−1) D0 e˙ (p11/q11−1) D0 > 0 由于 p11>0，q11>0，且 p11>q11，所以式 (24) 中所 有 满足 。式 (24) 中的第 1 项和 第 2 项满足不等式 (25)： sψ− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s| = sψ−ke |ψ|s+ke |ψ| AA−1 s− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s| ⩽ |ψs|−ke |ψ|s+ke   ψ(A−e˙ (p11/q11−1) D0 )A −1 s    ⩽ |ψs|−ke(1−ϕ)|ψs| (25) sψ− se˙ (p11/q11−1) D0 ke |ψ| A −1 选择 ke>(1−ϕ) 进而 s/ |s| < 0。 进一步，式 (24) 中第 3 项可描述为： ·652· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷