第14卷第4期 智能系统学报 Vol.14 No.4 2019年7月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul.2019 D0:10.11992/tis.201801022 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190321.0916.008.html 冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 钱殿伟，席亚菲 (华北电力大学控制与计算机工程学院，北京102206) 摘要：冠状动脉系统的混沌现象会导致严重的健康问题。以非线性冠状动脉系统为研究对象，建立了不确定 性冠状动脉系统动力学模型，提出了不确定性冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制方法，针对该模型的 不确定性设计了扰动观测器，根据Lyapunov理论证明了所设计控制系统的稳定性，通过仿真实验验证了所提 出的混沌抑制方法的有效性和可行性。 关键词：混沌抑制：冠状动脉系统：非匹配不确定性：滑模控制；扰动观测器 中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1673-4785(2019)04-0650-05 中文引用格式：钱殿伟，席亚菲.冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制.智能系统学报，2019,14(4)：650-654. 英文引用格式：QIAN Dianwei,,XI Yafei..Chaos suppression in coronary artery systems using differential-integral terminal sliding mode[JI.CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(4):650-654. Chaos suppression in coronary artery systems using differential-integral terminal sliding mode QIAN Dianwei,XI Yafei (School of Control and Computer Engineering,North China Electric Power University,Beijing 102206,China) Abstract:The chaos phenomenon of coronary artery systems can lead to serious health problems.Taking nonlinear coronary artery systems as the research object,a dynamics model of uncertainty in coronary artery systems was estab- lished,and the differential-integral terminal sliding mode control(DI-SMC)was investigated for the uncertain coronary artery system.The disturbance observer was designed for the uncertainty of the model.Stability of the designed control system was proven according to the Lyapunov theory.The feasibility and effectiveness of the proposed chaos suppres- sion method was verified using simulation results. Keywords:chaos suppression;coronary artery system;non-matching uncertainty;sliding mode control;disturbance ob- server 近年来，混沌抑制作为生物工程界的关键技 方法6！、局部线性方法例等。其中线性、局部线 术受到了越来越多的关注。将混沌抑制原理应用 性方法只适用于线性或线性化的系统。冠状动脉 到生物医学领域取得了很多理论成果。冠状动脉 系统是一类非线性生物系统，需要设计非线性控 是为心脏提供氧气的肌型血管。血管痉挛是造成 制器来实现混沌抑制。采用非线性方法，已经提 心肌梗死、心绞痛等冠状动脉疾病的根本原因。 出的混沌抑制方法包括高阶自适应滑模控制、 而血管痉挛在数学角度上看就是血管的混沌状态。 时滞状态反馈控制0、滑模控制等。 血管混沌现象可能会对身体带来致命威胁。所 在现实中，冠状动脉系统易受体温、血压等 以，研究冠状动脉系统的混沌特性，实现冠状动 多种不确定性的影响，这更增大了其混沌抑制 脉系统的混沌抑制具有理论意义和实用价值。 的难度。微分积分终端滑模是一种滑模控制设计 混沌抑制控制方法主要有线性法)、非线性 方法，消除了滑动模态的到达时间，适用于高相 对阶系统，这种设计方法不存在奇异现象，能精 收稿日期：2018-01-31.网络出版日期：2019-03-22 基金项目：中央高校基本科研业务费项目(2018MS025) 确估计误差收敛时间②。 通信作者：钱殿伟.E-mail:dianwei..qian@ncepu.edu.cn. 虽然滑模控制在滑动模态下对匹配不确定性
DOI: 10.11992/tis.201801022 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190321.0916.008.html 冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 钱殿伟，席亚菲 （华北电力大学 控制与计算机工程学院，北京 102206） 摘 要：冠状动脉系统的混沌现象会导致严重的健康问题。以非线性冠状动脉系统为研究对象，建立了不确定 性冠状动脉系统动力学模型，提出了不确定性冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制方法，针对该模型的 不确定性设计了扰动观测器，根据 Lyapunov 理论证明了所设计控制系统的稳定性，通过仿真实验验证了所提 出的混沌抑制方法的有效性和可行性。 关键词：混沌抑制；冠状动脉系统；非匹配不确定性；滑模控制；扰动观测器 中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)04−0650−05 中文引用格式：钱殿伟, 席亚菲. 冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(4): 650–654. 英文引用格式：QIAN Dianwei, XI Yafei. Chaos suppression in coronary artery systems using differential-integral terminal sliding mode[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(4): 650–654. Chaos suppression in coronary artery systems using differential-integral terminal sliding mode QIAN Dianwei，XI Yafei (School of Control and Computer Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China) Abstract: The chaos phenomenon of coronary artery systems can lead to serious health problems. Taking nonlinear coronary artery systems as the research object, a dynamics model of uncertainty in coronary artery systems was established, and the differential-integral terminal sliding mode control (DI-SMC) was investigated for the uncertain coronary artery system. The disturbance observer was designed for the uncertainty of the model. Stability of the designed control system was proven according to the Lyapunov theory. The feasibility and effectiveness of the proposed chaos suppression method was verified using simulation results. Keywords: chaos suppression; coronary artery system; non-matching uncertainty; sliding mode control; disturbance observer 近年来，混沌抑制作为生物工程界的关键技 术受到了越来越多的关注。将混沌抑制原理应用 到生物医学领域取得了很多理论成果。冠状动脉 是为心脏提供氧气的肌型血管。血管痉挛是造成 心肌梗死、心绞痛等冠状动脉疾病的根本原因[1-2]。 而血管痉挛在数学角度上看就是血管的混沌状态[3]。 血管混沌现象可能会对身体带来致命威胁[4]。所 以，研究冠状动脉系统的混沌特性，实现冠状动 脉系统的混沌抑制具有理论意义和实用价值。 混沌抑制控制方法主要有线性法[5] 、非线性 方法[6-8] 、局部线性方法[9] 等。其中线性、局部线 性方法只适用于线性或线性化的系统。冠状动脉 系统是一类非线性生物系统，需要设计非线性控 制器来实现混沌抑制。采用非线性方法，已经提 出的混沌抑制方法包括高阶自适应滑模控制[6] 、 时滞状态反馈控制[10] 、滑模控制[11] 等。 在现实中，冠状动脉系统易受体温、血压等 多种不确定性的影响[1] ，这更增大了其混沌抑制 的难度。微分积分终端滑模是一种滑模控制设计 方法，消除了滑动模态的到达时间，适用于高相 对阶系统，这种设计方法不存在奇异现象，能精 确估计误差收敛时间[12]。 虽然滑模控制在滑动模态下对匹配不确定性 收稿日期：2018−01−31. 网络出版日期：2019−03−22. 基金项目：中央高校基本科研业务费项目（2018MS025）. 通信作者：钱殿伟. E-mail: dianwei.qian@ncepu.edu.cn. 第 14 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.4 2019 年 7 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul. 2019
第4期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·651· 具有不变性，但是冠状动脉系统的复杂性导致其 定义()为标称系统，其不确定性系统为 难以满足滑模控制的匹配条件。已证明，扰动观 元1=-b元1-c元2+d1 测器可以有效地克服非匹配不确定性对滑模控制 元2=-1(1+b)元1-1(1+c)元2+1+ (2) 系统的影响，因此本文结合微分积分终端滑模控 Ecoswt+u+dz 制方法和扰动观测器来解决不确定性冠状动脉系 式中：=[]为状态变量；d=[dd]代表系统的 统的混沌抑制问题。 不确定性；表示控制器的控制输入。 假设1系统不确定性d有界，即ld。≤d, 1数学模型及问题描述 d是未知的正实数。 冠状动脉本质上是一类肌型血管，其动态集 假设2d是慢时变扰动，即d≈02x1o 总参数模型为： 冠状动脉系统混沌抑制的目的是通过设计控 制器使得不确定性系统与标称系统同步，即 1=-bx1-CX2 2=-(1+b)x1-1(1+c)+1x+EcoswT (1) lime =02x (3) 式中：x1是血管内径变化差；x2是血管压力差； 式中：02x=[00],e=[e1e],e1=i-x和e2=2-x2o 1是时间变量；b、c、入为冠状动脉系统的集总参 根据式(3)的误差定义，由式(1)、2)可得 数；Ecosot表示系统受到周期性刺激。 e=-be-ce2+d 图1表示冠状动脉系统随着参数c变化的分 e2=-(0+b)e1-(a+c)e2+1e (4) 岔图。其中，初始条件为[x(0)x2(0)]=[0.20.2]; +31e1+W+d2 其他参数为b=0.15、1=-0.65、E=0.3和0=1：时间 定义=e1,=e1,对x和2分别求导，并将 序列为2π、4π、6π、10m和12元；时间周期为2m。类 式(4)代入，可得 似地，冠状动脉系统随着1和b的变化也存在分 元=龙 元2=1(c-b)元1-(b+1+c)元2-1c- 岔现象。选取参数b=0.15、1=-0.65、c=-1.7 (5) 3cxi元1-c-cd2+d1+1(1+c）d E=0.3和ω=1，在同样的初始条件下，冠状动脉系 根据假设2，d≈0，式(5)可以写成 统相平面图如图2所示。从图1、图2可见，冠状 元=F(元，d)+Bu 动脉系统在某些参数下处于混沌状态，其混沌抑 y=H() (6) 制问题具有挑战性。 式中：d=-cd2+λ(1+c)d1;B=[0-c];=[i1,; f(闭)=1(c-b)元1-(b+1+c)2-1c-3cx1元1元； 50 F元，d=[2f()+d；H(闭=元1。 假设3F(元，d和H()光滑且李导数存在。 根据假设3，可计算如下李导数LsH(优，d)=0, -2.0 -19 -1.8-1.7-1.6 -1.5 LgLrH(元，d)=-c≠0。可见式(4)的相对阶为2，因 (a)x,随c变化的分岔图 1.0 此模型(6)适用微分积分终端滑模方法。进一 步，该模型的输入输出方程可表示为： 0.5 人矿 5=L子H(优，d)+LaLFH(元，d)u (7) 式中：HGd山=(L,H优d ,F=f()+d。根据 -05 a元 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7-1.6 -1.5 式(6)、(7，该模型的输人输出方程可写为 b)x,随c变化的分岔图 i=f()+d-cu (8) 图1状态随着参数c变化的分岔图 2控制设计 Fig.1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c 本文采用微分积分终端滑模控制方法抑制冠 状动脉系统的混沌状态，设计微分积分终端滑模 面为 s=ep +aen (9) 式中：a是控制器设计参数；en=e1,e,=-en.(0)/a .16 -1.0 -0.5 0.51.01.5 ep+Beni en=()dr;B-0;Pu>qu>0; 图2冠状动脉系统的相平面图 P2>q2>0:且p,q均为正奇数。 Fig.2 Phase plane of the coronary artery system 定理1若定义式(9)为滑模平面，则状态变
具有不变性，但是冠状动脉系统的复杂性导致其 难以满足滑模控制的匹配条件。已证明，扰动观 测器可以有效地克服非匹配不确定性对滑模控制 系统的影响，因此本文结合微分积分终端滑模控 制方法和扰动观测器来解决不确定性冠状动脉系 统的混沌抑制问题。 1 数学模型及问题描述 冠状动脉本质上是一类肌型血管，其动态集 总参数模型为： x˙1 = −bx1 −cx2 x˙2 = −λ(1+b)x1 −λ (1+c) x2 +λx 3 1 + E cosωτ (1) 式中：x 1 是血管内径变化差；x 2 是血管压力差； t 是时间变量；b、c、λ 为冠状动脉系统的集总参 数；Ecosωt 表示系统受到周期性刺激。 图 1 表示冠状动脉系统随着参数 c 变化的分 岔图。其中，初始条件为 [x1 (0) x2 (0)]T =[0.2 0.2]T ； 其他参数为 b=0.15、λ=−0.65、E=0.3 和 ω=1；时间 序列为 2π、4π、6π、10π 和 12π；时间周期为 2π。类 似地，冠状动脉系统随着 λ 和 b 的变化也存在分 岔现象。选取参数 b=0.15、λ=−0.65、c=−1.7、 E=0.3 和 ω=1，在同样的初始条件下，冠状动脉系 统相平面图如图 2 所示。从图 1、图 2 可见，冠状 动脉系统在某些参数下处于混沌状态，其混沌抑 制问题具有挑战性。 2 1 0 −1 −2 −2.0 −1.9 −1.8 x1 −1.7 c −1.6 −1.5 1.0 0.5 0 −0.5 −2.0 −1.9 −1.8 (a) x1 随 c 变化的分岔图 (b) x2 随 c 变化的分岔图 x2 −1.7 c −1.6 −1.5 图 1 状态随着参数 c 变化的分岔图 Fig. 1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 x1 −1 0 1 x2 图 2 冠状动脉系统的相平面图 Fig. 2 Phase plane of the coronary artery system 定义 (1) 为标称系统，其不确定性系统为 x˙¯1 = −bx¯1 −cx¯2 +d1 x˙¯2 = −λ(1+b) ¯x1 −λ (1+c) x¯2 +λx¯ 3 1+ E cosωτ+u+d2 (2) x¯ = [x¯1 x¯2] d = [d1 d2] u 式中： 为状态变量； 代表系统的 不确定性； 表示控制器的控制输入。 ∥d∥∞ ⩽ d 假设 ∗ 1 系统不确定性 d 有界，即 ， d *是未知的正实数。 假设 2 d 是慢时变扰动，即 d˙ ≈ 02×1。 冠状动脉系统混沌抑制的目的是通过设计控 制器使得不确定性系统与标称系统同步，即 lim t→∞ e = 02×1 (3) 式中：02×1=[0 0] e1 = x¯1 − x1 e2 = x¯2 − x2 T ，e=[e1 e2 ] T ， 和 。 根据式 (3) 的误差定义，由式 (1)、(2) 可得 e˙1 = −be1 −ce2 +d1 e˙2 = −(λ+bλ) e1 −(λ+cλ) e2 +λe 3 1 +3x1 x¯1e1 +u+d2 (4) x˜1 = e1 x˜2 = e˙1 x˜1 x˜2 ˙x˜2 定义 ， ，对 和 分别求导，并将 式 (4) 代入 ，可得 ˙x˜1 = x˜2 ˙x˜2 = λ (c−b) x˜1 −(b+λ+cλ) x˜2 −λcx˜ 3 1− 3cx1 x¯1 x˜1 −cu−cd2 +d˙ 1 +λ (1+c)d1 (5) d˙ 根据假设 2， 1 ≈ 0，式 (5) 可以写成 ˙x˜ = F(x˜,d)+ Bu y = H(x˜) (6) x˜ = [x˜1, x˜2] T f (x˜) = λ (c−b) x˜1 −(b+λ+cλ) x˜2 −λcx˜ 3 1 −3cx1 x¯1 x˜1 ( ˜x,d) = [ x˜2 f (x˜)+d ]T H(x˜) = x˜1 式中：d=−cd2+λ(1+c)d1；B=[0 −c] T ； ； ； F ； 。 假设 3 F(x˜,d) 和 H(x˜) 光滑且李导数存在。 LBH(x˜,d) = 0 LBLFH(x˜,d) = −c , 0 根据假设 3，可计算如下李导数 ， 。可见式 (4) 的相对阶为 2，因 此模型 (6) 适用微分积分终端滑模方法。进一 步，该模型的输入输出方程可表示为： y¨ = L 2 FH(x˜,d)+ LBLFH(x˜,d)u (7) L 2 FH(x˜,d) = ∂(LFH(x˜,d)) ∂x˜ 式中： ,F = f (x˜)+ d 。根据 式 (6)、(7)，该模型的输入输出方程可写为 y¨ = f (x˜)+ d−cu (8) 2 控制设计 本文采用微分积分终端滑模控制方法抑制冠 状动脉系统的混沌状态，设计微分积分终端滑模 面为 s = eD1 +αeI1 (9) eD0 = e1 eI1 = −eD1 eD1 = e˙ P11/q11 D0 +βeD0 eI1 = ∫ t 0 e q21/p21 D11 (τ)dτ 式中：α 是控制器设计参数； ， (0)/α； ； ；β>0；p11>q11>0； p21>q21>0；且 p，q 均为正奇数。 定理 1 若定义式 (9) 为滑模平面，则状态变 第 4 期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·651·
·652· 智能系统学报 第14卷 量[元云]将在有限时间T,内收敛至02x,其中 式中：z∈R1x1是观测器的状态变量；d∈Rx1为不确 Tn,为： 定性估计值；L∈R2为观测器增益变量。各参数 lep. len 矩阵描述为： a(1-921/p2)B(1-qm/p1) (10) 0 A= (c-b) -6+以+ewa-}=月 式中11是滑模ep,=0的到达时间。 证明所设计的滑动模态开始于仁0，所以 M= 0 -c-3cxi元 en,=-ae,成立。由于e=0(rdr,所以 定义估计误差ea为 Jo en=-aalps en a(t) (11) ea=d-d (19) 式中e,(O)=-eo,(O)/a。解式(11)可得e,的收敛时 假设4ea有界，即eal≤ei,其中e是未知的正 间为 实数。 le-la 由假设2可知d≈0。对式(19)求导，并将式 1= (12) a(1-q21/p21) (18)代入ea的导数，可得： 在滑模面s=0上eo,=-ae,表明滑模en,需要花 eH≈LB2P+L(B2L元+A元+B1u+M)- 费时间t,收敛至零。当eo,=0时，en,也会成功收 L(A元+B,u+B2d+M)= LB(d-L)+L2B2x-LB:d= (20) 敛至零。在=t,时，eo,可被描述为 LB2(d-d)=-LB2ea en,(Gi）=-Bu(Gi） (13) 解式(20)可得 由式(13)，e.(4)到en。=0时间为 ea exp(-LB2)ea(0) (21) len 可见，通过选取向量L保证LB2是正常数，可 io=B1-91P） (14) 保证估计误差eu在1→oo时指数收敛。因此，可由 式(9)的微分项和积分项相互独立，从s=0到 扰动观测器输出d代替式(16)中的d。 e,=0的时间为l11和to1之和，即有限收敛时间为 定理2在假设1至4下，针对冠状动脉系统 TDI=H1+101o 模型(2)，利用输入-输出动态方程(8)，定义微分 进一步，对式(9)求导并将式(8)代入可得 积分终端滑模面(9)，采用扰动观测器(18)，设计 5=a-(闭+d-cm+ (15) 微分积分终端滑模控制律(22)，则闭环混沌抑制 q11 系统是渐近稳定的。 式中：=Bea+a(au+Ben)mm。 为了获取微分积分终端滑模控制律，选取李 4=--A's-f闭-kgn+网-d p11 雅普诺夫函数V。=s2,对其求导可得。=55，并代 (22) 入式(15)，令。eio 证明采用同样的李雅普诺夫函数 =kA-f国-ksgo+时- V。=s22,对其求导并将式(15)代入，可得 (16) 立=sPi-f()+d-c叫+sw (23) q11 式中：A= 9au-ea-≥E;k0:>0:ke>0。 将式(22)代入式(23)得 ε其他. 考虑A,参数>0满足： Vo=st-sekA-s/sl+ (24) (A-8-"）A≤1(1-)。 由于P>0,9>0,且P1>q,所以式(24)中所 将式(16)代入式(15)，并考虑条件(17)，可得当 有%-满足a->0。式(24)中的第1项和 k>d时，。(1-)进而sψ-se2/-kAs/小<0。 进一步，式(24)中第3项可描述为：
[ x˜1 x˜2 ]T TD1 TD1 量 将在有限时间 内收敛至 02×1，其中 为： TD1 = eD1 (0) 1−q21/p21 α(1−q21/p21) + eD0 (t11) 1−q11/p11 β(1−q11/p11) (10) 式中 t11 是滑模eD1 = 0 的到达时间。 eD1 = −αeI1 eI1 = ∫ t 0 e q21/p21 D11 (τ)dτ 证明 所设计的滑动模态开始于 t=0，所以 成立。由于 ，所以 e˙I1 = −α q21/p21 eI1 q21/p21 (t) (11) eI1 (0) = −eD1 式中 (0)/α 。解式 eI1 (11) 可得 的收敛时 间为 t11 = eD1 (0) 1−q21/p21 α(1−q21/p21) (12) eD1 eI1 eD1 eD1 eD0 eD1 在滑模面 s=0 上 =–α ，表明滑模 需要花 费时间 t11 收敛至零。当 =0 时， 也会成功收 敛至零。在 t=t11 时， 可被描述为 e˙D0 (t11) = −β q11/p11 e q11/p11 D0 (t11) (13) eD0 由式 eD0 (13)， (t11) 到 =0 时间为 t01 = eD0 (t11) 1−q11/p11 β(1−q11/p11) (14) eD0 式 (9) 的微分项和积分项相互独立，从 s=0 到 =0 的时间为 t11 和 t01 之和，即有限收敛时间为 TD1=t11+t01。 进一步，对式 (9) 求导并将式 (8) 代入可得 s˙ = p11 q11 e˙ (p11 /q11−1) D0 (f (x˜)+d −cu)+ψ (15) ψ = βe˙D0 +α ( e˙ p11/q11 D0 +βeD0 )q21/p21 式中： 。 V˙ 0 = ss˙ V˙ 0 0；η>0；ke>0。 考虑 A，参数 ϕ>0 满足： ( A−e˙ (p11/q11−1) D0 ) A −1 ⩽ ϕ 1/(1−ϕ)。 k > d ∗ 0 V˙ 0 e ∗ 式中 d。 证 明 采用同样的李雅普诺夫函 数 V0=s 2 /2,对其求导并将式 (15) 代入，可得 V˙ 0 = s p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [f (x˜)+d −cu]+ sψ (23) 将式 (22) 代入式 (23) 得 V˙ 0 = sψ− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s|+ s p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [d −dˆ−(k sgn(s)+ηs)] (24) e˙ (p11/q11−1) D0 e˙ (p11/q11−1) D0 > 0 由于 p11>0，q11>0，且 p11>q11，所以式 (24) 中所 有 满足 。式 (24) 中的第 1 项和 第 2 项满足不等式 (25)： sψ− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s| = sψ−ke |ψ|s+ke |ψ| AA−1 s− se˙ (p11 /q11−1) D0 ke |ψ| A −1 s/ |s| ⩽ |ψs|−ke |ψ|s+ke ψ(A−e˙ (p11/q11−1) D0 )A −1 s ⩽ |ψs|−ke(1−ϕ)|ψs| (25) sψ− se˙ (p11/q11−1) D0 ke |ψ| A −1 选择 ke>(1−ϕ) 进而 s/ |s| < 0。 进一步，式 (24) 中第 3 项可描述为： ·652· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第4期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·653· P四elam-"[d-i-(ksgn(s)+7s刃= 从图3可知，微分积分终端滑模控制方法和 q11 四em-"[eus-k-ns]≤ 扰动观测器可以有效地抑制冠状动脉系统中的混 (26) 会me--np】 沌现象，具有较高的跟踪精确度。而高阶自适应 滑模控制系统受非匹配不确定性的影响较大，动 q11 为使sp/q)%au-"d-d-(ksgn(s)+s】e。 系统误差在有限时间内收敛到零。扰动观测器的 由式(25)和式(26)可得<0，满足滑模动态 估计误差示于图5。标称系统(1)、不确定性系统 的可达性条件。 (2)和误差系统（⑤）的相平面图示于图7。 虽然式(22)中同样需要选择k大于未知的 e以保证控制系统的稳定性，但是由于ea是指数 一本文方法 --微分积分终端滑模 收敛的，因此其最大值存在于e(O)。较之于式 --高阶自适应滑模向 (16)完全依靠经验保守地选择k,采用扰动观测器 0 技术可以在保证系统稳定性的前提下减少滑模控 0 5 1015202530 制的抖振现象，提高控制系统的性能。 图4滑模面 3仿真结果 Fig.4 Sliding surface 1.5 在标称系统(1)和不确定性系统(2)中，系统 1.0 集总参数取为b=0.1、=-0.65、c=-1.7、E=0.3和 0.5 o=1。初始状态为[x(0)x2(0)]=[0.20.2]。所设 计的微分积分终端滑模器参数为a=2、B=2、 05 0 5 1015 202530 P1=P21=11、91=921=13、ke=2、=0.1、k=2;所设计的 s 扰动观测器参数为L=05]'。 图5扰动误差 式(2)、式(5)中，d1属于非匹配扰动而d2属 Fig.5 Estimate error 于匹配扰动。由于滑模控制在滑动模态下对匹配 6 本文方法 扰动具有不变性，因此在仿真中仅考虑非匹配扰 ---微分积分终端滑模 -高阶自适应滑模6例 动的对系统性能的影响，取d,=2sin()和d=0。 采用文献[6]中的高阶自适应滑模控制方 法、微分积分终端滑模控制方法以及本文提出的 5 10 15 20 2530 控制方法进行对比实验，仿真结果如图3~7所示。如 定理2所证，采用所设计的控制策略，冠状动脉系 图6控制量 统在非匹配不确定性的影响下能够实现混沌抑制。 Fig.6 Control input 0.4 本文方法 0 02 -一-微分积分终端滑模 -1 -·-…-高阶自适应滑模 1.5-1.0-0.500.51.01.3 0 (a)标称系统相平面图 1.0 02 0 10 15 20 25 30 0 (a)元的轨迹 0. 21.5-1.0-0.500.51.01.5 1.0 本文方法 微分积分终端滑模 (b)不确定系统相平面图 高阶自适应滑模 0.5 0 0 0.5 -1.0 062 0.1 0.1 3 0 5 10 1520 25 30 (c)误差系统相平面图 (b)的轨迹 图7标称系统、不确定系统与误差系统的相平面图 图3状态轨迹 Fig.7 Phase plane trajectories of the error system,the Fig.3 Trajectories of the states nominal system and the uncertain system
s p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [d −dˆ−(k sgn(s)+ηs)] = p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [ed s−k |s|−ηs 2 ] ⩽ p11 q11 e˙ (p11/q11−1) D0 [(e ∗ d −k)|s|−ηs 2 ] (26) s(p11/q11)˙e (p11/q11−1) D0 [d −dˆ−(k sgn(s)+ηs)] e ∗ d 为 使 成立，可选择 。 V˙ 由式 (25) 和式 (26) 可得 0 < 0 ，满足滑模动态 的可达性条件。 e ∗ d 虽然式 (22) 中同样需要选择 k 大于未知的 以保证控制系统的稳定性，但是由于 ed 是指数 收敛的，因此其最大值存在于 ed (0)。较之于式 (16) 完全依靠经验保守地选择 k，采用扰动观测器 技术可以在保证系统稳定性的前提下减少滑模控 制的抖振现象，提高控制系统的性能。 3 仿真结果 在标称系统 (1) 和不确定性系统 (2) 中，系统 集总参数取为 b=0.1、λ=−0.65、c=−1.7、E=0.3 和 ω=1。初始状态为 [x1 (0) x2 (0)]T =[0.2 0.2]T。所设 计的微分积分终端滑模器参数 为 α= 2、 β= 2、 p11=p21=11、q11=q21=13、ke=2、η=0.1、k=2；所设计的 扰动观测器参数为 L=[0 5]T。 式 (2)、式 (5) 中，d1 属于非匹配扰动而 d2 属 于匹配扰动。由于滑模控制在滑动模态下对匹配 扰动具有不变性，因此在仿真中仅考虑非匹配扰 动的对系统性能的影响，取 d1=2sin(t) 和 d2=0。 采用文献 [6] 中的高阶自适应滑模控制方 法、微分积分终端滑模控制方法以及本文提出的 控制方法进行对比实验，仿真结果如图 3~7 所示。如 定理 2 所证，采用所设计的控制策略，冠状动脉系 统在非匹配不确定性的影响下能够实现混沌抑制。 0 5 10 15 20 25 30 t/s (a) x1 的轨迹 (b) x2 的轨迹 −0.2 0 0.2 0.4 本文方法 微分积分终端滑模 高阶自适应滑模[6] x1 ~ ~ ~ 本文方法 微分积分终端滑模 高阶自适应滑模[6] 0 5 10 15 20 25 30 t/s −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 x2 ~ 图 3 状态轨迹 Fig. 3 Trajectories of the states 从图 3 可知，微分积分终端滑模控制方法和 扰动观测器可以有效地抑制冠状动脉系统中的混 沌现象，具有较高的跟踪精确度。而高阶自适应 滑模控制系统受非匹配不确定性的影响较大，动 态响应时间较长。图 4 表示滑模平面变量，如定 理 1 所证，微分积分终端滑模控制方法能够保证 系统误差在有限时间内收敛到零。扰动观测器的 估计误差示于图 5。标称系统 (1)、不确定性系统 (2) 和误差系统 (5) 的相平面图示于图 7。 0 5 10 15 20 25 30 t/s −2 0 2 4 s 本文方法 微分积分终端滑模 高阶自适应滑模[6] 图 4 滑模面 Fig. 4 Sliding surface 0 5 10 15 20 25 30 t/s −0.5 0 0.5 1.0 1.5 ed 图 5 扰动误差 Fig. 5 Estimate error 0 5 10 15 20 25 30 t/s −4 −2 0 2 4 6 u 本文方法 微分积分终端滑模 高阶自适应滑模[6] 图 6 控制量 Fig. 6 Control input −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 −0.5 0 0.5 −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 −0.5 0 0.5 1.0 −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 −1 0 1 x2 x2 x1 (a) 标称系统相平面图 (b) 不确定系统相平面图 (c) 误差系统相平面图 x1 x2 ~ x1 图 7 标称系统、不确定系统与误差系统的相平面图 Fig. 7 Phase plane trajectories of the error system, the nominal system and the uncertain system 第 4 期 钱殿伟，等：冠状动脉系统的微分积分终端滑模混沌抑制 ·653·
·654· 智能系统学报 第14卷 4结束语 16(3:833-844 [8]GHOSH D,CHOWDHURY A R.Nonlinear observer- 本文针对冠状动脉系统的混沌抑制问题，提 based impulsive synchronization in chaotic systems with 出了微分积分终端滑模控制方法，建立了冠状动 multiple attractors[J].Nonlinear dynamics,2010,60(4): 脉系统的混沌同步动力学模型，采用扰动观测器 607-613 克服系统中不确定性的不利影响，利用李雅普诺 [9]YU Yonggang,LI Hanxiong,DUAN Jian.Chaos syn- 夫理论分析了所设计混沌抑制控制系统的稳定 chronization of a unified chaotic system via partial linear- 性，通过与高阶自适应滑模的仿真对比，验证了 ization[J].Chaos,solitons and fractals,2009,41(1): 所提出的控制方法的有效性与可行性。 457-463. [10]WU Wenshu,ZHAO Zhanshan,ZHANG Jing,et al.State 参考文献： feedback synchronization control of coronary artery chaos [1]OZAKI K,TANAKA T.Molecular genetics of coronary system with interval time-varying delay[J].Nonlinear dy- artery disease[J].Journal of human genetics,2016,61(1): namics..2017,87(3):1773-1783 71-77. [11]潘光，魏静.一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控 [2]HE Guowei,TAGGART D P.Spasm in arterial grafts in 制器设计[.物理学报，2015,64(4)：040505 coronary artery bypass grafting surgery[J].The annals of PAN Guang,WEI Jing.Design of an adaptive sliding thoracic surgery,2016,101(3):1222-1229. mode controller for synchronization of fractional-order [3]SCHAUER T,NEGARD N O,PREVIDI F,et al.Online chaotic systems[J].Acta physica sinica,2015,64(4): identification and nonlinear control of the electrically stim- 040505. ulated quadriceps muscle[J].Control engineering practice, [12]CHIU C S.Derivative and integral terminal sliding mode 2005,13(9):1207-1219. control for a class of MIMO nonlinear systems[J].Auto- [4]LI Wenlei.Tracking control of chaotic coronary artery sys- natica.2012.48(2):316-326. tem[J].International journal of systems science,2012, 作者简介： 43(1):21-30 [5]RAFIKOV M,BALTHAZAR J M.On control and syn- 钱殿伟，男，1980年生，副教授。 博士，主要研究方向为非线性系统理 chronization in chaotic and hyperchaotic systems via lin- 论与控制。承担中央高校科研业务费 ear feedback control[J].Communications in nonlinear sci- 项目1项。发表学术论文80余篇。 ence and numerical simulation,2008,13(7):1246-1255. [6]赵占山，张静，丁刚，等.冠状动脉系统高阶滑模自适应 混沌同步设计[J.物理学报，2015,64(21)：210508. ZHAO Zhanshan,ZHANG Jing,DING Gang,et al.Chaos 席亚菲，女，1993年生，硕士研究 synchronization of coronary artery system based on higher 生，主要研究方向为变结构控制理论 order sliding mode adaptive control[J].Acta physica sinica, 与应用、智能机器人技术。 2015,6421)210508. [7]CHITHRA A,MOHAMED I R.Synchronization and chaotic communication in nonlinear circuits with nonlin- ear coupling[J.Journal of computational electronics,2017
4 结束语 本文针对冠状动脉系统的混沌抑制问题，提 出了微分积分终端滑模控制方法，建立了冠状动 脉系统的混沌同步动力学模型，采用扰动观测器 克服系统中不确定性的不利影响，利用李雅普诺 夫理论分析了所设计混沌抑制控制系统的稳定 性，通过与高阶自适应滑模的仿真对比，验证了 所提出的控制方法的有效性与可行性。 参考文献： OZAKI K, TANAKA T. Molecular genetics of coronary artery disease[J]. Journal of human genetics, 2016, 61(1): 71–77. [1] HE Guowei, TAGGART D P. Spasm in arterial grafts in coronary artery bypass grafting surgery[J]. The annals of thoracic surgery, 2016, 101(3): 1222–1229. [2] SCHAUER T, NEGARD N O, PREVIDI F, et al. Online identification and nonlinear control of the electrically stimulated quadriceps muscle[J]. Control engineering practice, 2005, 13(9): 1207–1219. [3] LI Wenlei. Tracking control of chaotic coronary artery system[J]. International journal of systems science, 2012, 43(1): 21–30. [4] RAFIKOV M, BALTHAZAR J M. On control and synchronization in chaotic and hyperchaotic systems via linear feedback control[J]. Communications in nonlinear science and numerical simulation, 2008, 13(7): 1246–1255. [5] 赵占山, 张静, 丁刚, 等. 冠状动脉系统高阶滑模自适应 混沌同步设计 [J]. 物理学报, 2015, 64(21): 210508. ZHAO Zhanshan, ZHANG Jing, DING Gang, et al. Chaos synchronization of coronary artery system based on higher order sliding mode adaptive control[J]. Acta physica sinica, 2015, 64(21): 210508. [6] CHITHRA A, MOHAMED I R. Synchronization and chaotic communication in nonlinear circuits with nonlinear coupling[J]. Journal of computational electronics, 2017, [7] 16(3): 833–844. GHOSH D, CHOWDHURY A R. Nonlinear observerbased impulsive synchronization in chaotic systems with multiple attractors[J]. Nonlinear dynamics, 2010, 60(4): 607–613. [8] YU Yonggang, LI Hanxiong, DUAN Jian. Chaos synchronization of a unified chaotic system via partial linearization[J]. Chaos, solitons and fractals, 2009, 41(1): 457–463. [9] WU Wenshu, ZHAO Zhanshan, ZHANG Jing, et al. State feedback synchronization control of coronary artery chaos system with interval time-varying delay[J]. Nonlinear dynamics, 2017, 87(3): 1773–1783. [10] 潘光, 魏静. 一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控 制器设计 [J]. 物理学报, 2015, 64(4): 040505. PAN Guang, WEI Jing. Design of an adaptive sliding mode controller for synchronization of fractional-order chaotic systems[J]. Acta physica sinica, 2015, 64(4): 040505. [11] CHIU C S. Derivative and integral terminal sliding mode control for a class of MIMO nonlinear systems[J]. Automatica, 2012, 48(2): 316–326. [12] 作者简介： 钱殿伟，男，1980 年生，副教授， 博士，主要研究方向为非线性系统理 论与控制。承担中央高校科研业务费 项目 1 项。发表学术论文 80 余篇。 席亚菲，女，1993 年生，硕士研究 生，主要研究方向为变结构控制理论 与应用、智能机器人技术。 ·654· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷