刘建等：考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 3 (a) (b) M1=-2.5B+14882g2-2.37668+1.1028g -5 V1-B (9) 32=-4+29+0.488862+0.8111283-0.7177g +4 V1-B (10) B G1= To) PTO -B-6.86228+18.105762-2201736+9329g (11) 图1CCBD试样与BD试样示意图.(a)CCBD试样：b)BD试样 Fig.1 Schematic of (a)centrally cracked Brazilian disk and (b) G2= -p4.19026-14.626g2+21.2854g-9.817g） B Brazilian disk specimens (12) hr(r.axrudr.0dr- (3) 此外，o,oa,te为相同外部载荷加载下与 其中，r,0为极坐标；h,hm及hr分别为与I型、 CCBD试样对应的巴西圆盘(Brazilian disc,简称 Ⅱ型应力强度因子及T应力对应的权函数，具体形 BD)试样的应力分布，如图1(b)所示.近来，Yu等B 式如下2-，： 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 h(r,a)=- Via 1-p2 +MiV-p2+M-p (4) ha)= 2 (13) (5) hrc,a)=-[G1(1-p2)+G2(1-p22] (6) 其中，p=ra,M1,M2,N,N2,G,G2均为与中心直裂 纹相对长度=alR相关的参数，即-3，： (14) M1=8-49+3.861292-15.9344B3+24.6076g- V1-B 13.234β mc-p- -8 2n- 1-B c.-c- sin2n0 (15) 7) M2=-8+48-0.6488g2+14.123203-24.2696g+ 其中，qo=P(RB),P为压力机施加的外部载荷，Cn V1-B (=0,±1，±2，)与g(0)的分布形式、分布角度及 12.596B5 摩擦系数有关，具体形式参见1.表1中=q(0/ +8 VI-B qo,qmax为q0)lqo的最大值，J1为一阶Bessel函数， (8) H1为一阶Struve函数.图2为a=15°且=0.4时圆 表1分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table I Series coefficients C of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form Aeygmax Amxx Co Cn(=±1，±2，） Uniform 1 2a [2(sina+u(1-cosa))] 9asn2na-2μ(sinna) Elliptical - [(Ji(@)+pH1(a)]-1 29max a2na)H (na) 2n Parabolic - a2[4u(1+a2/2-asina- 4 qmax[u(2onsin2na+cos2na-2a n2-1) cosa)+4sina-4acosa]-1 +sin 2na-2ancos2nal/(2ma2n3) a[16(3-a2)sina-48acosa gmax【(3μ-4a22μ-6am)cos2na+ Quartic polynomial - +2μa+4a2+24+ 16a 15n 9max (6amu+3-4a2n2)sin2na- 8(a2-3)cosa-24asina)]-I 2μ(a‘n+a2m2+3/2]/2raT = w a 0 hT (r,a)σθ(r, θ)dr − σθ|r=a + σr |r=a （3） 其中 ， r, θ 为极坐标 ； hI , hII 及 hT 分别为 与 I 型 、 II 型应力强度因子及 T 应力对应的权函数，具体形 式如下[2−3,19] ： hI(r,a) = 2 √ πa   1 √ 1−ρ 2 + M1 √ 1−ρ 2 + M2(1−ρ 2 ) 3/2   （4） hII(r,a) = 2 √ πa   1 √ 1−ρ 2 +N1 √ 1−ρ 2 +N2(1−ρ 2 ) 3/2   （5） hT (r,a) = 1 a [G1(1−ρ 2 )+G2(1−ρ 2 ) 2 ] （6） 其中，ρ=r/a，M1 , M2 , N1 , N2 , G1 , G2 均为与中心直裂 纹相对长度 β=a/R 相关的参数，即[2−3,19] ： M1 = 8−4β+3.8612β 2 −15.9344β 3 +24.6076β 4− √ 1−β 13.234β 5 √ 1−β −8 （7） M2 = −8+4β−0.6488β 2 +14.1232β 3 −24.2696β 4+ √ 1−β 12.596β 5 √ 1−β +8 （8） N1 = 5−2.5β+1.4882β 2 −2.3766β 3 +1.1028β 4 √ 1−β −5 （9） N2 = −4+2β+0.4888β 2 +0.81112β 3 −0.7177β 4 √ 1−β +4 （10） G1 = β 1−β (−6.8622β+18.1057β 2−22.0173β 3+9.3229β 4 ) （11） G2 = β 1−β (4.1902β−14.626β 2 +21.2854β 3 −9.8117β 4 ) （12） 此外 ， σr , σθ , τrθ 为相同外部载荷加载下 与 CCBD 试样对应的巴西圆盘 (Brazilian disc, 简称 BD) 试样的应力分布，如图 1(b) 所示. 近来，Yu 等[31] 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 σr(r, θ) = −q0   C0 − ∑∞ n=1 ( 2(n−1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （13） σθ(r, θ) = −q0   C0 + ∑∞ n=1 ( 2(n+1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （14） τrθ(r, θ) = −q0 ∑∞ n=1 ( 2n ( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 sin 2nθ （15） 其中，q0=P/(RB)，P 为压力机施加的外部载荷，Cn (n=0, ±1, ±2, ···) 与 q(θ) 的分布形式、分布角度及 摩擦系数有关，具体形式参见 1. 表 1 中 f(θ)=q(θ)/ q0，qmax 为 q(θ)/q0 的最大值，J1 为一阶 Bessel 函数， H1 为一阶 Struve 函数. 图 2 为 α=15°且 μ=0.4 时圆 表 1 分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table 1 Series coefficients Cn of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form f(θ)/qmax qmax C0 Cn (n=±1, ±2, ···) Uniform 1 [2(sinα+µ(1−cosα))]−1 2α π qmax qmax sin 2nα−2µ(sinnα) 2 nπ Elliptical ( 1− ( θ α )2 )1/2 [π(J1(α)+µH1(α))]−1 α 2 qmax qmax J1(2nα)−µH1(2nα) 2n Parabolic 1− ( θ α )2 α 2 [4µ(1+α 2 /2−αsinα− cosα)+4 sinα−4αcosα] −1 4α 3π qmax qmax[µ(2αnsin 2nα+cos 2nα−2α 2 n 2 −1) +sin 2nα−2αncos 2nα]/(2πα 2 n 3 ) Quartic polynomial ( 1− ( θ α )2 )2 α 4 [16(3−α 2 ) sinα−48αcosα +2µ(α 4 +4α 2 +24+ 8(α 2 −3) cosα−24αsinα)]−1 16α 15π qmax qmax[(3µ−4α 2 n 2 µ−6αn) cos 2nα+ (6αnµ+3−4α 2 n 2 ) sin 2nα− 2µ(α 4 n 4 +α 2 n 2 +3/2)]/(2πn 5α 4 ) (a) 2a 2α p R q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ (b) 2α R p σr τrθ σθ q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ r 图 1    CCBD 试样与 BD 试样示意图. (a) CCBD 试样；(b) BD 试样 Fig.1     Schematic  of  (a)  centrally  cracked  Brazilian  disk  and  (b) Brazilian disk specimens 刘    建等： 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 · 3 ·