工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建乔兰李庆文赵国彦 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen,ZHAO Guo-yan 引用本文： 刘建，乔兰，李庆文，赵国彦.考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解.工程科学学报，优先发表.d: 10.13374j.issn2095-9389.2021.06.07.006 LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen,ZHAO Guo-yan.Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction[J.Chinese Journal of Engineering,In press.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 在线阅读View online::htps:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2021.06.07.006 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in
考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建 乔兰 李庆文 赵国彦 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian, QIAO Lan, LI Qing-wen, ZHAO Guo-yan 引用本文: 刘建, 乔兰, 李庆文, 赵国彦. 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解[J]. 工程科学学报, 优先发表. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 LIU Jian, QIAO Lan, LI Qing-wen, ZHAO Guo-yan. Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction[J]. Chinese Journal of Engineering, In press. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in
工程科学学报.第44卷，第X期：1-8.2021年X月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.X:1-8,X 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006;http://cje.ustb.edu.cn 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建)，乔兰)四，李庆文)，赵国彦2) 1)北京科技大学土木与资源工程学院，北京1000832)中南大学资源与安全工程学院.长沙410083 ☒通信作者，E-mail:langiao@ustb.edu.cn 摘要运用权函数法推导出考虑加载端摩擦的四种形式分布载荷加载下，中心直裂纹巴西圆盘试样在任意Ⅶ复合型断裂 模式下I、Ⅱ型应力强度因子及T应力的解析解，并探究了端部摩擦及载荷分布角度对断裂参数的影啊.研究结果表明：(1) 当中心裂纹相对长度B较小时，纯I型、纯Ⅱ型断裂的Y、Y,及T*(分别是量纲为一的I型、Ⅱ型应力强度因子及T应力)均 随摩擦系数及载荷分布角度增大而减小；但是，当B较大时，摩擦系数增大可使纯I型Y增大，而载荷分布角度增大可使纯 Ⅱ型T*增大.(2)接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分布角度对断裂参数的影响最显著，而四次函数下其对断裂参数的 影响相对最小.(3)当B较小时，纯Ⅱ型加载角度随载荷分布角度增大而减小：当B较大时，其随载荷分布角度增大而增大： 摩擦系数增大可使纯Ⅱ型加载角度增大 关键词中心直裂纹巴西圆盘：断裂参数：端部摩擦：分布载荷：解析解 分类号0346.1 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen),ZHAO Guo-yan 1)School of Civil and Resource Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Resources and Safety Engineering,Central South University,Changsha 410083,China Corresponding author,E-mail:lanqiao@ustb.edu.cn ABSTRACT A centrally cracked Brazilian disk(CCBD)specimen subjected to a pair of diametral compressive forces has been widely used to study mixed-mode I and II fractures of brittle and quasi-brittle materials.Reasons for using the CCBD are mainly due to its capability to introduce different mode mixities from pure mode I to pure mode II,the existence of closed-form solutions for fracture parameters,and the simple setup of compressive test.In addition to the diametrical concentrated force loading,the partially distributed pressure loading is also an important loading condition for CCBD specimen tests.Using the weight function method,analytical solutions of stress intensity factors and Tstress considering the tangential loading friction for a CCBD specimen that is subjected to four typical partially distributed loads were derived,and effects of the boundary friction and load distribution angle on the fracture parameters were also explored.The results obtained are as follows:(1)For short cracks,geometric parameters Y.Yn,and T of pure mode I and II fractures decrease with an increase in the friction coefficient and load distribution angle.However,for long cracks,an increase in the friction coefficient causes an increase in pure mode-I Y,and an increase in the load distribution angle causes an increase in pure mode-lI T;(2)The influence of the load distribution angle on the fracture parameters is the most significant when the distributed pressure follows a constant function form,while it is the least significant for the case of quartic polynomial pressure,(3)The critical loading angle for pure mode II fractures decreases with an increase in the load distribution angle for short cracks,whereas it increases for long cracks. 收稿日期：2021-06-07 基金项目：国家自然科学基金与山东联合基金重点资助项目(U1806209):中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF.TP.19 021A3):北京科技大学青年教师学科交叉研究资助项目(FRF-DRY-19-002)
考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘 建1)，乔 兰1) 苣，李庆文1)，赵国彦2) 1) 北京科技大学土木与资源工程学院，北京 100083 2) 中南大学资源与安全工程学院，长沙 410083 苣通信作者， E-mail: lanqiao@ustb.edu.cn 摘 要 运用权函数法推导出考虑加载端摩擦的四种形式分布载荷加载下，中心直裂纹巴西圆盘试样在任意 I/II 复合型断裂 模式下 I、II 型应力强度因子及 T 应力的解析解，并探究了端部摩擦及载荷分布角度对断裂参数的影响. 研究结果表明：（1） 当中心裂纹相对长度 β 较小时，纯 I 型、纯 II 型断裂的 YI、YII 及 T*（分别是量纲为一的 I 型、II 型应力强度因子及 T 应力）均 随摩擦系数及载荷分布角度增大而减小；但是，当 β 较大时，摩擦系数增大可使纯 I 型 YI 增大，而载荷分布角度增大可使纯 II 型 T*增大. （2）接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分布角度对断裂参数的影响最显著，而四次函数下其对断裂参数的 影响相对最小. （3）当 β 较小时，纯 II 型加载角度随载荷分布角度增大而减小；当 β 较大时，其随载荷分布角度增大而增大； 摩擦系数增大可使纯 II 型加载角度增大. 关键词 中心直裂纹巴西圆盘；断裂参数；端部摩擦；分布载荷；解析解 分类号 O346.1 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian1) ，QIAO Lan1) 苣 ，LI Qing-wen1) ，ZHAO Guo-yan2) 1) School of Civil and Resource Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China 苣 Corresponding author, E-mail: lanqiao@ustb.edu.cn ABSTRACT A centrally cracked Brazilian disk (CCBD) specimen subjected to a pair of diametral compressive forces has been widely used to study mixed-mode I and II fractures of brittle and quasi-brittle materials. Reasons for using the CCBD are mainly due to its capability to introduce different mode mixities from pure mode I to pure mode II, the existence of closed-form solutions for fracture parameters, and the simple setup of compressive test. In addition to the diametrical concentrated force loading, the partially distributed pressure loading is also an important loading condition for CCBD specimen tests. Using the weight function method, analytical solutions of stress intensity factors and T stress considering the tangential loading friction for a CCBD specimen that is subjected to four typical partially distributed loads were derived, and effects of the boundary friction and load distribution angle on the fracture parameters were also explored. The results obtained are as follows: (1) For short cracks, geometric parameters YI , YII, and T* of pure mode I and II fractures decrease with an increase in the friction coefficient and load distribution angle. However, for long cracks, an increase in the friction coefficient causes an increase in pure mode-I YI , and an increase in the load distribution angle causes an increase in pure mode-II T*; (2) The influence of the load distribution angle on the fracture parameters is the most significant when the distributed pressure follows a constant function form, while it is the least significant for the case of quartic polynomial pressure; (3) The critical loading angle for pure mode II fractures decreases with an increase in the load distribution angle for short cracks, whereas it increases for long cracks. 收稿日期: 2021−06−07 基金项目: 国家自然科学基金与山东联合基金重点资助项目（U1806209）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（ FRF-TP-19- 021A3）；北京科技大学青年教师学科交叉研究资助项目（FRF-IDRY-19-002） 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期：1−8，2021 年 X 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. X: 1−8, X 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006; http://cje.ustb.edu.cn
工程科学学报，第44卷，第X期 When the load distribution angle is fixed,an increase in friction can raise the critical loading angle for pure mode II fractures.These results have further improved the research of fracture parameters in CCBD specimens KEY WORDS centrally cracked Brazilian disk;fracture parameters;boundary friction;distributed load;analytical solutions 中心直裂纹巴西圆盘(Centrally cracked Brazilian 力强度因子的影响.董卓与唐世斌运用权函数 disc,简称CCBD)的断裂参数包括I型、IⅡ型应力 法提出了围压与径向集中载荷共同作用下考虑裂 强度因子及T应力T应力为裂纹尖端应力场 纹面摩擦的CCBD试样的应力强度因子计算公 William展开式中的常数项，大量研究表明，由于 式，并从理论上分析了围压、径向载荷和裂纹面摩 岩石类脆性材料的断裂过程区尺寸相对较大，因 擦对CCBD应力强度因子的影响 此T应力的影响不可忽略6 在CCBD断裂试验中，除运用平板压头加载 由于在对径压缩下CCBD试样能发生任意 外，弧形压头加载也是一种常用的外部载荷施加 II复合型断裂且其断裂参数存在解析解，因此其 手段.Dong等、李一凡等2、TangP1及Markides 被广泛应用于诸如玻璃、陶瓷0，、岩石-]等脆 等2均考虑了均布载荷加载，这种应力边界是对 性及准脆性材料的I/I复合型断裂研究.Awaji与 弧形压头加载的简化.但是，一方面试样与弧形压 Sato4最早提出运用CCBD试样测量岩石的I型 头之间接触力的实际分布形式未知，前人多把接触 及Ⅱ型断裂韧度.Atkinson等l运用边界积分方 力的分布形式假设为均匀分布26-2】、椭圆分布9-3川、 程率先推导出CCBD试样的I、Ⅱ型应力强度因子 余弦分布B1-刘、二次函数分布B-3划及四次函数分 级数形式的解析解，但Atkinson等U仅给出相对裂 布B川，相对于均匀分布，Japaridze指出接触力的 纹长度=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5及0.6这6种情况下 分布形式更可能是非均匀的：另一方面，鲜少有学者 应力强度因子级数解析解前5项的计算系数，其 考虑弧形压头与试样之间的摩擦作用并且探究端 它情况的未知系数需通过数值积分获得，应用不 部摩擦对断裂参数的影响.近来，Yu与Shangt3借 便.Fett2-提出了与CCBD试样L、Ⅱ型应力强度 助复变函数理论及权函数法推导了考虑加载端摩 因子及T应力相关的权函数，而后Dong等运用 擦的CCBD试样在纯I型加载下I型应力强度因 权函数方法推导出集中载荷与均布载荷作用下 子的解析解，但是其未关注CCBD试样在II复合 CCBD试样I、Ⅱ型应力强度因子的全显式级数解 型加载条件下断裂参数的解析解.鉴于此，本文首 析解，并探究均布载荷分布角度对应力强度因子 先运用权函数法推导出考虑端部摩擦的4种形式 的影响.Dorogoy与Banks-Sills!1采用一种有限差 分布载荷（均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次 分模型研究中心裂纹接触摩擦对I、Ⅱ型应力强度 函数，因余弦函数与二次函数类似，所以本文没有 因子的影响.Ayatollahi与Aliha 6]运用有限元法 考虑)加载下CCBD试样在任意II复合型断裂模 计算了集中载荷作用下CCBD试样的I、Ⅱ型应力 式下断裂参数的解析解，然后基于该解析解探讨 强度因子及T应力.考虑到实际工程材料多处于 端部摩擦及接触载荷分布角度对断裂参数的影 围压作用下，徐积刚等7及Hua等I8-运用权函 响，以期能进一步完善关于CCBD试样断裂参数 数法及叠加原理推导了径向集中载荷与围压共同 的研究 作用下CCBD试样断裂参数的解析解，并基于该 1断裂参数解析解 解析解探讨了围压对应力强度因子及T应力的影 响.Hou等20运用基于扩展有限元的相互作用积 运用权函数法求解CCBD试样的断裂参数 分法求解CCBD试样的I、Ⅱ型应力强度因子及 如图I(a)所示，CCBD试样半径为R,厚度为B,中 T应力.李一凡等四运用权函数法提出了均布载 心直裂纹长度为2a,承受分布载荷q(0)作用，载荷 荷加载下CCBD试样T应力的解析解.Hou等2 分布角度为2a,:q(0为弧形压头与试样之间的摩 采用相互作用积分法研究了围压对CCBD试样应 擦力，其中μ为摩擦系数.则CCBD试样的I型、 力强度因子及T应力的影响，结果显示相互作用 Ⅱ型应力强度因子(K、K)及T应力为2-3,1： 积分法的计算结果与权函数法的结果十分吻合 K1=J0 hic,a)cac,e)d山r (1) Tang2]运用权函数法推导了径向集中载荷及均布 载荷加载下考虑裂纹面摩擦的CCBD试样应力强 度因子解析解，并分析了裂纹面摩擦对CCBD应 Ku=h(r.a)Tro(r.0dr (2)
When the load distribution angle is fixed, an increase in friction can raise the critical loading angle for pure mode II fractures. These results have further improved the research of fracture parameters in CCBD specimens. KEY WORDS centrally cracked Brazilian disk；fracture parameters；boundary friction；distributed load；analytical solutions 中心直裂纹巴西圆盘 (Centrally cracked Brazilian disc, 简称 CCBD) 的断裂参数包括 I 型、II 型应力 强度因子及 T 应力[1−5] . T 应力为裂纹尖端应力场 William 展开式中的常数项，大量研究表明，由于 岩石类脆性材料的断裂过程区尺寸相对较大，因 此 T 应力的影响不可忽略[6−8] . 由于在对径压缩下 CCBD 试样能发生任意 I/II 复合型断裂且其断裂参数存在解析解，因此其 被广泛应用于诸如玻璃[9]、陶瓷[10]、岩石[11−13] 等脆 性及准脆性材料的 I/II 复合型断裂研究. Awaji 与 Sato[14] 最早提出运用 CCBD 试样测量岩石的 I 型 及 II 型断裂韧度. Atkinson 等[1] 运用边界积分方 程率先推导出 CCBD 试样的 I、II 型应力强度因子 级数形式的解析解，但 Atkinson 等[1] 仅给出相对裂 纹长度 β= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 及 0.6 这 6 种情况下 应力强度因子级数解析解前 5 项的计算系数，其 它情况的未知系数需通过数值积分获得，应用不 便. Fett[2−3] 提出了与 CCBD 试样 I、II 型应力强度 因子及 T 应力相关的权函数，而后 Dong 等[4] 运用 权函数方法推导出集中载荷与均布载荷作用下 CCBD 试样 I、II 型应力强度因子的全显式级数解 析解，并探究均布载荷分布角度对应力强度因子 的影响. Dorogoy 与 Banks-Sills[15] 采用一种有限差 分模型研究中心裂纹接触摩擦对 I、II 型应力强度 因子的影响. Ayatollahi 与 Aliha [16] 运用有限元法 计算了集中载荷作用下 CCBD 试样的 I、II 型应力 强度因子及 T 应力. 考虑到实际工程材料多处于 围压作用下，徐积刚等[17] 及 Hua 等[18−19] 运用权函 数法及叠加原理推导了径向集中载荷与围压共同 作用下 CCBD 试样断裂参数的解析解，并基于该 解析解探讨了围压对应力强度因子及 T 应力的影 响. Hou 等[20] 运用基于扩展有限元的相互作用积 分法求解 CCBD 试样的 I、II 型应力强度因子及 T 应力. 李一凡等[21] 运用权函数法提出了均布载 荷加载下 CCBD 试样 T 应力的解析解. Hou 等[22] 采用相互作用积分法研究了围压对 CCBD 试样应 力强度因子及 T 应力的影响，结果显示相互作用 积分法的计算结果与权函数法的结果十分吻合. Tang[23] 运用权函数法推导了径向集中载荷及均布 载荷加载下考虑裂纹面摩擦的 CCBD 试样应力强 度因子解析解，并分析了裂纹面摩擦对 CCBD 应 力强度因子的影响. 董卓与唐世斌[24] 运用权函数 法提出了围压与径向集中载荷共同作用下考虑裂 纹面摩擦的 CCBD 试样的应力强度因子计算公 式，并从理论上分析了围压、径向载荷和裂纹面摩 擦对 CCBD 应力强度因子的影响. 在 CCBD 断裂试验中，除运用平板压头加载 外，弧形压头加载也是一种常用的外部载荷施加 手段. Dong 等[4]、李一凡等[21]、Tang[23] 及 Markides 等[25] 均考虑了均布载荷加载，这种应力边界是对 弧形压头加载的简化. 但是，一方面试样与弧形压 头之间接触力的实际分布形式未知，前人多把接触 力的分布形式假设为均匀分布[26−28]、椭圆分布[29−31]、 余弦分布[31−32]、二次函数分布[31−33] 及四次函数分 布[31] ，相对于均匀分布，Japaridze[30] 指出接触力的 分布形式更可能是非均匀的；另一方面，鲜少有学者 考虑弧形压头与试样之间的摩擦作用并且探究端 部摩擦对断裂参数的影响. 近来，Yu 与 Shang[34] 借 助复变函数理论及权函数法推导了考虑加载端摩 擦的 CCBD 试样在纯 I 型加载下 I 型应力强度因 子的解析解，但是其未关注 CCBD 试样在 I/II 复合 型加载条件下断裂参数的解析解. 鉴于此，本文首 先运用权函数法推导出考虑端部摩擦的 4 种形式 分布载荷（均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次 函数，因余弦函数与二次函数类似，所以本文没有 考虑）加载下 CCBD 试样在任意 I/II 复合型断裂模 式下断裂参数的解析解，然后基于该解析解探讨 端部摩擦及接触载荷分布角度对断裂参数的影 响，以期能进一步完善关于 CCBD 试样断裂参数 的研究. 1 断裂参数解析解 运用权函数法求解 CCBD 试样的断裂参数. 如图 1(a) 所示，CCBD 试样半径为 R，厚度为 B，中 心直裂纹长度为 2a，承受分布载荷 q(θ) 作用，载荷 分布角度为 2α，μ·q(θ) 为弧形压头与试样之间的摩 擦力，其中 μ 为摩擦系数. 则 CCBD 试样的 I 型、 II 型应力强度因子（KI、KII）及 T 应力为[2−3,19] ： KI = w a 0 hI(r,a)σθ(r, θ)dr （1） KII = w a 0 hII(r,a)τrθ(r, θ)dr （2） · 2 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
刘建等：考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 3 (a) (b) M1=-2.5B+14882g2-2.37668+1.1028g -5 V1-B (9) 32=-4+29+0.488862+0.8111283-0.7177g +4 V1-B (10) B G1= To) PTO -B-6.86228+18.105762-2201736+9329g (11) 图1CCBD试样与BD试样示意图.(a)CCBD试样：b)BD试样 Fig.1 Schematic of (a)centrally cracked Brazilian disk and (b) G2= -p4.19026-14.626g2+21.2854g-9.817g） B Brazilian disk specimens (12) hr(r.axrudr.0dr- (3) 此外，o,oa,te为相同外部载荷加载下与 其中，r,0为极坐标；h,hm及hr分别为与I型、 CCBD试样对应的巴西圆盘(Brazilian disc,简称 Ⅱ型应力强度因子及T应力对应的权函数，具体形 BD)试样的应力分布，如图1(b)所示.近来，Yu等B 式如下2-，： 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 h(r,a)=- Via 1-p2 +MiV-p2+M-p (4) ha)= 2 (13) (5) hrc,a)=-[G1(1-p2)+G2(1-p22] (6) 其中，p=ra,M1,M2,N,N2,G,G2均为与中心直裂 纹相对长度=alR相关的参数，即-3，： (14) M1=8-49+3.861292-15.9344B3+24.6076g- V1-B 13.234β mc-p- -8 2n- 1-B c.-c- sin2n0 (15) 7) M2=-8+48-0.6488g2+14.123203-24.2696g+ 其中，qo=P(RB),P为压力机施加的外部载荷，Cn V1-B (=0,±1，±2，)与g(0)的分布形式、分布角度及 12.596B5 摩擦系数有关，具体形式参见1.表1中=q(0/ +8 VI-B qo,qmax为q0)lqo的最大值，J1为一阶Bessel函数， (8) H1为一阶Struve函数.图2为a=15°且=0.4时圆 表1分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table I Series coefficients C of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form Aeygmax Amxx Co Cn(=±1，±2，） Uniform 1 2a [2(sina+u(1-cosa))] 9asn2na-2μ(sinna) Elliptical - [(Ji(@)+pH1(a)]-1 29max a2na)H (na) 2n Parabolic - a2[4u(1+a2/2-asina- 4 qmax[u(2onsin2na+cos2na-2a n2-1) cosa)+4sina-4acosa]-1 +sin 2na-2ancos2nal/(2ma2n3) a[16(3-a2)sina-48acosa gmax【(3μ-4a22μ-6am)cos2na+ Quartic polynomial - +2μa+4a2+24+ 16a 15n 9max (6amu+3-4a2n2)sin2na- 8(a2-3)cosa-24asina)]-I 2μ(a‘n+a2m2+3/2]/2ra
T = w a 0 hT (r,a)σθ(r, θ)dr − σθ|r=a + σr |r=a （3） 其中 ， r, θ 为极坐标 ； hI , hII 及 hT 分别为 与 I 型 、 II 型应力强度因子及 T 应力对应的权函数，具体形 式如下[2−3,19] ： hI(r,a) = 2 √ πa 1 √ 1−ρ 2 + M1 √ 1−ρ 2 + M2(1−ρ 2 ) 3/2 （4） hII(r,a) = 2 √ πa 1 √ 1−ρ 2 +N1 √ 1−ρ 2 +N2(1−ρ 2 ) 3/2 （5） hT (r,a) = 1 a [G1(1−ρ 2 )+G2(1−ρ 2 ) 2 ] （6） 其中，ρ=r/a，M1 , M2 , N1 , N2 , G1 , G2 均为与中心直裂 纹相对长度 β=a/R 相关的参数，即[2−3,19] ： M1 = 8−4β+3.8612β 2 −15.9344β 3 +24.6076β 4− √ 1−β 13.234β 5 √ 1−β −8 （7） M2 = −8+4β−0.6488β 2 +14.1232β 3 −24.2696β 4+ √ 1−β 12.596β 5 √ 1−β +8 （8） N1 = 5−2.5β+1.4882β 2 −2.3766β 3 +1.1028β 4 √ 1−β −5 （9） N2 = −4+2β+0.4888β 2 +0.81112β 3 −0.7177β 4 √ 1−β +4 （10） G1 = β 1−β (−6.8622β+18.1057β 2−22.0173β 3+9.3229β 4 ) （11） G2 = β 1−β (4.1902β−14.626β 2 +21.2854β 3 −9.8117β 4 ) （12） 此外 ， σr , σθ , τrθ 为相同外部载荷加载下 与 CCBD 试样对应的巴西圆盘 (Brazilian disc, 简称 BD) 试样的应力分布，如图 1(b) 所示. 近来，Yu 等[31] 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 σr(r, θ) = −q0 C0 − ∑∞ n=1 ( 2(n−1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （13） σθ(r, θ) = −q0 C0 + ∑∞ n=1 ( 2(n+1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （14） τrθ(r, θ) = −q0 ∑∞ n=1 ( 2n ( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 sin 2nθ （15） 其中，q0=P/(RB)，P 为压力机施加的外部载荷，Cn (n=0, ±1, ±2, ···) 与 q(θ) 的分布形式、分布角度及 摩擦系数有关，具体形式参见 1. 表 1 中 f(θ)=q(θ)/ q0，qmax 为 q(θ)/q0 的最大值，J1 为一阶 Bessel 函数， H1 为一阶 Struve 函数. 图 2 为 α=15°且 μ=0.4 时圆 表 1 分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table 1 Series coefficients Cn of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form f(θ)/qmax qmax C0 Cn (n=±1, ±2, ···) Uniform 1 [2(sinα+µ(1−cosα))]−1 2α π qmax qmax sin 2nα−2µ(sinnα) 2 nπ Elliptical ( 1− ( θ α )2 )1/2 [π(J1(α)+µH1(α))]−1 α 2 qmax qmax J1(2nα)−µH1(2nα) 2n Parabolic 1− ( θ α )2 α 2 [4µ(1+α 2 /2−αsinα− cosα)+4 sinα−4αcosα] −1 4α 3π qmax qmax[µ(2αnsin 2nα+cos 2nα−2α 2 n 2 −1) +sin 2nα−2αncos 2nα]/(2πα 2 n 3 ) Quartic polynomial ( 1− ( θ α )2 )2 α 4 [16(3−α 2 ) sinα−48αcosα +2µ(α 4 +4α 2 +24+ 8(α 2 −3) cosα−24αsinα)]−1 16α 15π qmax qmax[(3µ−4α 2 n 2 µ−6αn) cos 2nα+ (6αnµ+3−4α 2 n 2 ) sin 2nα− 2µ(α 4 n 4 +α 2 n 2 +3/2)]/(2πn 5α 4 ) (a) 2a 2α p R q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ (b) 2α R p σr τrθ σθ q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ r 图 1 CCBD 试样与 BD 试样示意图. (a) CCBD 试样；(b) BD 试样 Fig.1 Schematic of (a) centrally cracked Brazilian disk and (b) Brazilian disk specimens 刘 建等： 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 · 3 ·
工程科学学报，第44卷，第X期 g(e) Eq.(13) ·Uniform -Uniform R=-a-1/2)小-3M+2n+1)M+4n0a+1 ◆Elliptical Elliptical 2B2 ◆Parabolic Parabolic (24) Quartic -Quartic polynomial polynomial R=-34,+2+1M+4nn+i川c-n（25) 482 R=-1/2）-3+2+2N+4n+1m+2刃cn 2(n+2) 015°，0.4 (26) -20 -10 0 10 20 ) Rg=-a-1/2-3N+2+1M+4an+1】c. 2B2 图2圆盘边界上(=R)式(13)计算结果与g)的对比 (27) Fig.2 Comparison between the calculated results based onEq.(13)and 3N2+2(+1)N+4m(n+DlC (28) the applied normal pressures g() 482 盘边界上(=R)公式(13)的计算结果与法向载荷 (29) g()的对比，公式(13)中级数求和项数取前 200项，由图可知两者具有较好的一致性.因此， R-4+):2m+51G+4Glc. (30) 以下在求解断裂参数时级数求和项数均取前 15+46n+36n2+8n3 200项. R=-22m+3G+4C2lc. (31) 将公式(4)~(15)代入公式(1)~(3)得到： (3+8n+4n2)B2 =Y() (16) B R=- 2[(2n+3)G1+4G2】 -3-2n+12n2+8ngC-n (32) P Ku=- Y() (17) VR R=-4ngC。-22n-10C.-2C-2 (33) B2 1威r (18) 公式(16)~(33)即为最终结果.表1中，若令 摩擦系数=0，则上述解析解退化为不考虑端部摩 其中，Y(,Y(,T()分别为量纲为一的I型、 擦的形式.Dong等与李一凡等2]运用线弹性断 Ⅱ型应力强度因子及T应力，或者称上述三个参数 裂力学的叠加原理分别求解了均布载荷(q(0为常 为对应的几何参数，具体形式为 数函数)加载下CCBD试样1、Ⅱ型应力强度因子 及T应力的解析解，图3为=10时本文计算结果 与Dong等及李一凡等四所得结果的对比，由图 T(n-1/2)B2"cos2n0 (19) 可知上述结果具有较好的一致性 T(n+2) V元 2摩擦系数及载荷分布角度影响分析 =-v2++鸭 图4为纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数Y、Ym I(n-1/2)B2 sin2n0 及T*随摩擦系数的变化特征，其中图4a)~(d) (20) T(n+2) v阮 为a=5°及15且=0.2的情况，图4e)~(h)为c=15° 且=0.8的情况.由图4a)~(d)可知，当中心裂纹 T(B)=- 5+R++居+师产cos2d 相对长度较小时，纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数 (21) 均随摩擦系数的增大而近似于线性减小（对T*而 其中，「(x)为Gamma函数，其余参数如下 言均指其绝对值).当=5时，4种形式的分布载 风-(+兰+) 荷加载下，纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数随摩擦 Co (22) 系数的平均变化率分别为0.9%（纯1型）、 R=+1a-1/2)-3M+20n+2M+ 5.0%(纯1型T*)、1.5%(纯Ⅱ型Ym)、1.9%(纯Ⅱ型 2(n+2) T*);而当a=15时，上述几何参数的平均变化率为 4m+10n+2刃Cn 2.4%、14.0%、4.2%、5.6%.因此，当载荷分布角度 (23) 2(n+2) 较大时，摩擦系数对断裂参数的影响更显著.此
盘边界上 (r=R) 公式 (13) 的计算结果与法向载荷 q(θ) 的 对 比 ， 公 式 (13) 中 级 数 求 和 项 数 取 前 200 项，由图可知两者具有较好的一致性. 因此， 以下在求解断裂参数时级数求和项数均取 前 200 项. 将公式 (4)～(15) 代入公式 (1)～(3) 得到： KI = P B √ R YI(β) （16） KII = P B √ R YII(β) （17） T = P BR T ∗ (β) （18） 其中 ， YI (β), YII(β), T * (β) 分别为量纲为一的 I 型 、 II 型应力强度因子及 T 应力，或者称上述三个参数 为对应的几何参数，具体形式为 YI(β) = − √ πβ R I 0 + ∑∞ n=1 (R I 1 +R I 2 +R I 3 ) Γ(n−1/2) Γ(n+2) · β 2n cos 2nθ √ π ] （19） YII(β) = − √ πβ ∑∞ n=1 (R II 1 +R II 2 +R II 3 ) Γ(n−1/2) Γ(n+2) · β 2n sin 2nθ √ π ] （20） T ∗ (β) = − R T 0 + ∑∞ n=1 (R T 1 +R T 2 +R T 3 +R T 4 )· β 2n cos 2nθ （21） 其中，Γ(x) 为 Gamma 函数，其余参数如下 R I 0 = ( 1+ M1 2 + 3M2 8 ) C0 （22） R I 1 = (n+1)(n−1/2)·[3M2 +2(n+2)M1+ 2(n+2) 4(n+1)(n+2)] 2(n+2) Cn （23） R I 2 = − (n−1/2)·[3M2 +2(n+1)M1 +4n(n+1)] 2β 2 Cn （24） R I 3 = − [3M2 +2(n+1)M1 +4n(n+1)] 4β 2 C−n （25） R II 1 = n(n−1/2)·[3N2 +2(n+2)N1 +4(n+1)(n+2)] 2(n+2) Cn （26） R II 2 = − (n−1/2)·[3N2 +2(n+1)N1 +4n(n+1)] 2β 2 Cn （27） R II 3 = − [3N2 +2(n+1)N1 +4n(n+1)] 4β 2 C−n （28） R T 0 = ( 2G1 3 + 8G2 15 ) C0 （29） R T 1 = 4(n+1)·[(2n+5)G1 +4G2] 15+46n+36n 2 +8n 3 Cn （30） R T 2 = − 2[(2n+3)G1 +4G2] (3+8n+4n 2 )β 2 Cn （31） R T 3 = − 2[(2n+3)G1 +4G2] (−3−2n+12n 2 +8n 3 )β 2 C−n （32） R T 4 = − 4nβ 2Cn −2(2n−1)Cn −2C−n β 2 （33） 公式 (16)～(33) 即为最终结果. 表 1 中，若令 摩擦系数 μ=0，则上述解析解退化为不考虑端部摩 擦的形式. Dong 等[4] 与李一凡等[21] 运用线弹性断 裂力学的叠加原理分别求解了均布载荷（q(θ) 为常 数函数）加载下 CCBD 试样 I、II 型应力强度因子 及 T 应力的解析解，图 3 为 α=10°时本文计算结果 与 Dong 等[4] 及李一凡等[21] 所得结果的对比，由图 可知上述结果具有较好的一致性. 2 摩擦系数及载荷分布角度影响分析 图 4 为纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数 YI、YII 及 T*随摩擦系数的变化特征 ，其中 图 4(a)～ (d) 为 α=5°及 15°且 β=0.2 的情况，图 4(e)～(h) 为 α=15° 且 β=0.8 的情况. 由图 4(a)～(d) 可知，当中心裂纹 相对长度较小时，纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数 均随摩擦系数的增大而近似于线性减小（对 T*而 言均指其绝对值）. 当 α=5°时，4 种形式的分布载 荷加载下，纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数随摩擦 系 数 的 平 均 变 化 率 分 别 为 0.9%（ 纯 I 型 YI） 、 5.0%（纯 I 型 T*）、1.5%（纯 II 型 YII）、1.9%（纯 II 型 T*）；而当 α=15°时，上述几何参数的平均变化率为 2.4%、14.0%、4.2%、5.6%. 因此，当载荷分布角度 较大时，摩擦系数对断裂参数的影响更显著. 此 −20 −10 0 10 20 0 1 2 3 4 Eq.(13) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial q(θ) f(θ) α=15°, μ=0.4 θ/(°) 图 2 圆盘边界上 (r=R) 式 (13) 计算结果与 q(θ) 的对比 Fig.2 Comparison between the calculated results based on Eq. (13) and the applied normal pressures q(θ) · 4 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
刘建等：考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 5 0.7 12 [(a) This paper Dong et al. This paper Dong et al. (b) 0.6m 03 1.0 03 03 0% 0.8 0.4 0.3。 =0.6 0.2 0.4 0.1 0.2 0.0 0 J 10 15 0.0 20 25 30 5 10152025 30 Loading angle.) Loading angle,( 0.3@ -0.6 -0.9 -1.2 -1.5f This paper Li et al.Fr -1.81 -2.1 0 5 10 1520 25 30 Loading angle,6() 图3均布载荷加载下本文结果与Dong等及李一凡等四结果的对比.(a)Y:(b):(c)T* Fig.3 Comparison between the results of this study and the results of Dong et al.4 and Li et al under uniformly distributed pressure:(a)Y(b)Y and (c)T* 0.27 0.46 8名 (a) -1.14 (b) (c) 0.26 -1.18 -Parabolic 心有 0.44 0.254 -1.22 0.24 -1.26 0.42 0.23 -1.30 0.22 。一◆-Elliptical 0.40 +◆-Elliptical Parabolic -1.34 ◆苦 ---Parabolic --t,Quat山ep0yn0uma 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 030 0.2 0.40.60.8 0.56 a=5°a=15 d 0.90 -1.40 (e) -0.57 0.58 0.80 -1.80上。- -0.59 。--。-Uniform 0.70 2-2.20 062专转安 0.60 0.61 50 0.60 Elliptical -2.60 ◆-Elliptical -0.63 0.50L Parabolie -3.00 Parabolic polynomial 0.0 0.2 0.6 0.8 .00.2 0.40.60.8 0 0.20.4 0.60.8 1.55 Elliptical -0.30 h 1.50 a=15° -0.40 1.45 0.50 一一 1.40 0.60 -Elliptical 1.354 -0.70 Uniform ◆Parabolic 0.00.20.40.60.8 0.00.20.40.60.8 图4纯I型及纯Ⅱ型断裂的儿何参数随摩擦系数的变化特征.(a)-=0.2:纯I型Y:(b)=0.2:纯I型T*:(c)=02:纯Ⅱ型Ym:(d)=0.2:纯 Ⅱ型T*:(e)=0.8:纯1型Y:(f)=0.8:纯I型T*:(g)-0.8:纯Ⅱ型Y:(h)-0.8:纯Ⅱ型T* Fig.4 Variations in the Y,Yu and T of pure mode I and II fractures versus friction coefficient u:(a)B=0.2:pure mode-I Y;(b)B=0.2:pure mode-IT*; (c).2:pure mode-II Yn:(d)B-0.2:pure mode-II T(e)-.:pure mode-I Y(f)-0.8:pure mode-IT(g).8:pure mode-II Yu (h)-0.8:pure mode-II T*
0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 (a) YI Loading angle, θ/(°) 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 This paper Dong et al. (b) [4] β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 This paper Dong et al.[4] β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 This paper Li et al.[21] β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 β=0.3 β=0.4 β=0.5 β=0.6 YII Loading angle, θ/(°) 0 5 10 15 20 25 30 −2.1 −1.8 −1.5 −1.2 −0.9 −0.6 −0.3 (c) T* Loading angle, θ/(°) 图 3 均布载荷加载下本文结果与 Dong 等[4] 及李一凡等[21] 结果的对比. （a）YI；（b） YII；（c） T* Fig.3 Comparison between the results of this study and the results of Dong et al.[4] and Li et al.[21] under uniformly distributed pressure: (a) YI ; (b) YII; and (c) T* 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 μ Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial (a) YI α=5° α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 −1.34 −1.30 −1.26 −1.22 −1.18 −1.14 (b) μ Quartic polynomial Parabolic Elliptical Uniform T* α=5° α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 (c) μ Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial YII α=5° α=15° μ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.63 −0.62 −0.61 −0.60 −0.59 −0.58 −0.57 −0.56 (d) Quartic polynomial Parabolic Elliptical Uniform T* α=5° α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 −3.00 −2.60 −2.20 −1.80 −1.40 (f) μ Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial T* α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 (e) μ Uniform Parabolic YI Elliptical Quartic polynomial α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 (g) μ Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial YII α=15° Elliptical Quartic polynomial α=15° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.70 −0.60 −0.50 −0.40 −0.30 (h) μ Uniform Parabolic T* 图 4 纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数随摩擦系数的变化特征. （a） β=0.2：纯 I 型 YI；（b）β=0.2：纯 I 型 T*；（c）β=0.2：纯 II 型 YII；（d） β=0.2：纯 II 型 T*；（e）β=0.8：纯 I 型 YI；（f）β=0.8：纯 I 型 T*；（g） β=0.8：纯 II 型 YII；（h）β=0.8：纯 II 型 T* Fig.4 Variations in the YI , YII and T* of pure mode I and II fractures versus friction coefficient μ: (a) β=0.2: pure mode-I YI ; (b) β=0.2: pure mode-I T*; (c) β=0.2: pure mode-II YII; (d) β=0.2: pure mode-II T*; (e) β=0.8: pure mode-I YI ; (f) β=0.8: pure mode-I T*; (g) β=0.8: pure mode-II YII; (h) β=0.8: pure mode-II T* 刘 建等： 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 · 5 ·
工程科学学报，第44卷，第X期 外，由图4)~(h)可知，当B较大时，纯I型断裂的 时Y减小了13%：而当=0.8时，y1则减小了46% 几何参数Y随摩擦系数的增大而增大，其它几何 从不同的接触载荷分布形式来看，当载荷分布角 参数依旧随摩擦系数的增大而近似线性减小. 度a趋近于0时，纯I型及纯Ⅱ型断裂模式下的几 图5为=0.4时纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参 何参数均趋近于集中载荷情况下的值，而当α逐 数随载荷分布角度的变化特征，其中图5(a)~(d) 渐增大时，不同形式q(0下的Y、Ym及T*之间的 为=0.2时的情况，图5(e)~h)为=0.8时的情况. 差距逐渐增大.同时，还可注意到当q)为常数函 由图5可知，纯I型断裂的几何参数Y、T*及纯 数时，载荷分布角度对Y、Y及T*的影响最显著， Ⅱ型断裂的几何参数Y均随a的增大而减小；但 其次是椭圆函数、二次函数，而四次函数下载荷分 是，对于纯Ⅱ型断裂的几何参数T*而言，当B较小 布角度对几何参数的影响相对最小.在a及μ相 时，其随α的增大仍然减小，并且减小的速率逐渐 同的情况下，整体上)为四次函数时载荷分布更 减慢；而当B较大时，其随α的增大逐渐增大.此 集中，即相对更接近于集中载荷情况，如图2 外，当B较大时，载荷分布角度对几何参数的影响 所示，其次是二次函数、椭圆函数，最后是常数函 更显著.以均布载荷作用下纯1型断裂的几何参 数.因此，当g(0为四次函数形式时，a对几何参 数Y1为例，当=0.2时，相对于=0的情况，a=15° 数的影响最小，而常数函数下则最显著 (a) (b) -1.20 (c) 0.46 0.27 -1.22 =0.2,=0.4 026 -1.24 -1.26 Parabolic 0.44 Quartic polynomial 0.45e 0.25 =0.2,=0.4 -1.28 0.43 -1.30 -0.2,=0.4 024 0.42 -1.32 Uniform 0.23 -1.34 0.41 Quartic polynomial -1.36 Quartic polynomial 0246810121416 68101214 0.40 0 2 4 16 02 46810121416 al) al) a/) -0.592 (d) (e) (f 1.2p -1.6「 B0.8=0.4 0.596 -2.0 1.0 -0.600 -2.4 -0.604 09 2.8 Quartic polynomial 204 0.8=0.8,=0.4 -3.2 -0.608 0.7 ·-Unifomm ◆-Elliptical -Elliptical -3.6 0.612 Parabolic 0.6 -4.0 Quartic polynomial 0.5 Quartic polynomial -4. 0 4 6810121416 0246810121416 0 2 46810121416 al) a/) ) 1.64m (g) (h) 160t 1.56 -0.2 1.52 ++11 0.3 148 B-0.8,4=0.4 0.4 =0.8,=0.4 1.44 一s-Uniform 。-Uniform 1.40Elliptical -0.5 ◆一上E山pca Parabolic 1.36Quartic polynomial -0.6 Quartic polynomial 0 246810121416 0246810121416 ako) a/) 图5纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数随载荷分布角度的变化特征.(a)-02:纯I型Y:(b)=0.2:纯I型T*:(c)=0.2:纯Ⅱ型Y:(d)=0.2:纯 Ⅱ型T*:(e)B=0.8:纯I型Y:(fD=0.8:纯1型T*;(g)=0.8:纯Ⅱ型Y:(h)-0.8:纯Ⅱ型T* Fig.5 Variations in the Y,Yu,and T of pure mode I and II fractures versus the load distribution angle a:(a)B=0.2:pure mode-I Y:(b)B=0.2:pure mode-I T;(c)B=0.2:pure mode-II Yu:(d)B=0.2:pure mode-II T*;(e)B=0.8:pure mode-I Yr:(f)B=0.8:pure mode-I T;(g)B=0.8:pure mode-Il Yu: (h)B=0.8:pure mode-II T* 图6为=0.2及0.8时，不同摩擦系数条件下， 加载角度0随α的增大而逐渐减小，并且当 接触载荷分布角度α对纯Ⅱ型断裂加载角度的 g(0)为常数函数时尤其明显.当α保持一定时，随 影响.由图6(a)可知，当B较小时，总体上纯Ⅱ型 摩擦系数增大，受α的影响程度在减弱，也即相
外，由图 4(e)～(h) 可知，当 β 较大时，纯 I 型断裂的 几何参数 YI 随摩擦系数的增大而增大，其它几何 参数依旧随摩擦系数的增大而近似线性减小. 图 5 为 μ=0.4 时纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参 数随载荷分布角度的变化特征，其中图 5(a)～(d) 为 β=0.2 时的情况，图 5(e)～(h) 为 β=0.8 时的情况. 由图 5 可知 ，纯 I 型断裂的几何参数 YI、 T*及纯 II 型断裂的几何参数 YII 均随 α 的增大而减小；但 是，对于纯 II 型断裂的几何参数 T*而言，当 β 较小 时，其随 α 的增大仍然减小，并且减小的速率逐渐 减慢；而当 β 较大时，其随 α 的增大逐渐增大. 此 外，当 β 较大时，载荷分布角度对几何参数的影响 更显著. 以均布载荷作用下纯 I 型断裂的几何参 数 YI 为例，当 β=0.2 时，相对于 α=0°的情况，α=15° 时 YI 减小了 13%；而当 β=0.8 时，YI 则减小了 46%. 从不同的接触载荷分布形式来看，当载荷分布角 度 α 趋近于 0°时，纯 I 型及纯 II 型断裂模式下的几 何参数均趋近于集中载荷情况下的值，而当 α 逐 渐增大时，不同形式 q(θ) 下的 YI、YII 及 T*之间的 差距逐渐增大. 同时，还可注意到当 q(θ) 为常数函 数时，载荷分布角度对 YI、YII 及 T*的影响最显著， 其次是椭圆函数、二次函数，而四次函数下载荷分 布角度对几何参数的影响相对最小. 在 α 及 μ 相 同的情况下，整体上 f(θ) 为四次函数时载荷分布更 集中 ，即相对更接近于集中载荷情况 ，如 图 2 所示，其次是二次函数、椭圆函数，最后是常数函 数. 因此，当 q(θ) 为四次函数形式时，α 对几何参 数的影响最小，而常数函数下则最显著. 图 6 为 β=0.2 及 0.8 时，不同摩擦系数条件下， 接触载荷分布角度 α 对纯 II 型断裂加载角度 θ0 的 影响. 由图 6(a) 可知，当 β 较小时，总体上纯 II 型 加 载 角 度 θ0 随 α 的 增 大 而 逐 渐 减 小 ， 并 且 当 q(θ) 为常数函数时尤其明显. 当 α 保持一定时，随 摩擦系数增大，θ0 受 α 的影响程度在减弱，也即相 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 (a) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial YI α/(°) α/(°) α/(°) α/(°) α/(°) α/(°) α/(°) α/(°) β=0.2, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.612 −0.608 −0.604 −0.600 −0.596 −0.592 (d) T* Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial β=0.2, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −1.36 −1.34 −1.32 −1.30 −1.28 −1.26 −1.24 −1.22 −1.20 (b) T* Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial β=0.2, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 (c) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial β=0.2, μ=0.4 YII 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 (e) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial YI β=0.8, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1.36 1.40 1.44 1.48 1.52 1.56 1.60 1.64 (g) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial YII β=0.8, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 (h) T* Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial β=0.8, μ=0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −4.4 −4.0 −3.6 −3.2 −2.8 −2.4 −2.0 −1.6 (f) T* Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial β=0.8, μ=0.4 图 5 纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数随载荷分布角度的变化特征. （a） β=0.2：纯 I 型 YI；（b）β=0.2：纯 I 型 T*；（c）β=0.2：纯 II 型 YII；（d） β=0.2：纯 II 型 T*；（e）β=0.8: 纯 I 型 YI；（f）β=0.8：纯 I 型 T*；（g） β=0.8：纯 II 型 YII；（h）β=0.8：纯 II 型 T* Fig.5 Variations in the YI , YII, and T* of pure mode I and II fractures versus the load distribution angle α: (a) β = 0.2: pure mode-I YI ; (b) β = 0.2: pure mode-I T*; (c) β = 0.2: pure mode-II YII; (d) β = 0.2: pure mode-II T*; (e) β = 0.8: pure mode-I YI ; (f) β = 0.8: pure mode-I T*; (g) β = 0.8: pure mode-II YII; (h) β = 0.8: pure mode-II T* · 6 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
刘建等：考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 7 对于0时的情况，随μ的增大而增大.由图6 0的影响程度相对较小；而当B较大时，α及！对 (b)可知，当B较大时，纯Ⅱ型加载角度随a增 A的影响程度相对较大.以q()为常数函数且 大而逐渐增大，这与B较小时的情况正好相反，并 =0为例，当=02时，相对于集中载荷情况下的 且随着摩擦系数的增大，的增大速度也越快，也 纯Ⅱ型加载角度(0=28.7)，c=15时0减小了3%； 即在a一定时，随μ的增大也在增大.此外，总 而当=0.8时，相对于集中载荷情况(0o=13.1), 体来看，当B较小时，载荷分布角度及摩擦系数对 a=15时增大了13%. (b) 28.8 (a) 19 ①28.71 Uniform Quartic polynomial 18 =0.0 =0.0 28.6 今字小小小→→中 -=0.2 -=0.2 28.5 17 -=0.4 ★-1=0.4 1=0.6.1=0.6 4=0.8 28.3 Uniform Quartic polynomial -4=0.0-6-=0.0 15 282 =04 =0.4 281 09005特8球888剂 =0.6 =0.6 28.0 =0.8 =08 0 2 4 6 810 12 14 6 0 2 46810121416 alo) al() 图6载荷分布角度对纯Ⅱ型加载角度的影响.(a)=0.2:(b)-0.8 Fig.6 Effect of the load distribution angle on the critical loading angle for pure mode II fractures:(a)B=0.2;(b)B=0.8 3结论 [2]Fett T.T-stresses in rectangular plates and circular disks.Eng Fract Mech,.1998.60(5-6):631 基于断裂力学的权函数法推导出分布载荷为 [3]Fett T.Stress intensity factors and T-stress for single and double- 均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次函数形式 edge-cracked circular disks under mixed boundary conditions.Eng 时考虑端部摩擦的CCBD试样I、Ⅱ型应力强度因 Fract Mech,2002,69(1):69 子及T应力的级数形式解析解，并在此基础上探 [4] Dong S M,Wang Y,Xia Y M.Stress intensity factors for central 究了接触载荷分布角度及摩擦系数对断裂参数的 cracked circular disk subjected to compression.Eng Fract Mech, 影响.具体结论如下： 2004,71(7-8):1135 [5] Akbardoost J,Rastin A.Comprehensive data for calculating the (1)当中心裂纹相对长度B较小时，纯I型、纯 higher order terms of crack tip stress field in disk-type specimens Ⅱ型断裂的几何参数随摩擦系数增大而近似线性 under mixed mode loading.Theor Appl Fract Mech,2015,76:75 减小（对T*而言指其绝对值）：当B较大时，摩擦系 [6] Smith DJ,Ayatollahi M R,Pavier M J.The role of T-stress in 数增大可使纯I型Y:近似线性增大，其它几何参 brittle fracture for linear elastic materials under mixed-mode 数依旧减小. loading.Fatigue Fract Eng Mater Struct,2001,24(2):137 (2)当B较小时，接触载荷分布角度增大可使 [7] Dong Z,Tang S B,Lang Y X.Hydraulic fracture prediction theory 纯I型、纯Ⅱ型断裂的几何参数减小：而当B较大 based on the minimum strain energy density criterion.Chin/Eng, 2019,41(4:436 时，载荷分布角度增大可使纯Ⅱ型T*增大 (董卓，唐世斌，郎颖焖.基于最小应变能密度因子断裂准则的 (3)接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分 岩石裂纹水力压裂研究.工程科学学报，2019,41(4)：436) 布角度对几何参数Y、Y及T*的影响最显著，其 [8]Liu H Y.Initiation mechanism of cracks of rock in compression 次是椭圆函数、二次函数，而四次函数下载荷分布 and shear considering T-stress.Chin J Geotech Eng,2019,41(7): 角度对几何参数的影响相对最小 1296 (4)当B较小时，纯Ⅱ型加载角度随载荷分布 (刘红岩.考虑T应力的岩石压剪裂纹起裂机理.岩土工程学报， 角度增大而减小；但是，当B较大时，其随载荷分 2019,41(7):1296) [9]Ayatollahi M R,Aliha M R M.Mixed mode fracture in soda lime 布角度的增大而增大.当载荷分布角度一定时，摩 glass analyzed by using the generalized MTS criterion.Int/Solids 擦系数增大可使纯Ⅱ型加载角度增大 Src1,2009,46(2):311 [10]Aliha M R M,Ayatollahi M R.Analysis of fracture initiation angle 参考文献 in some cracked ceramics using the generalized maximum [1]Atkinson C,Smelser R E,Sanchez J.Combined mode fracture via tangential stress criterion.Int J Solids Struct,2012,49(13):1877 the cracked Brazilian disk test.Int/Fract,1982,18(4):279 [11]Ayatollahi M R,Aliha M R M.On the use of Brazilian disc
对于 μ=0 时的情况，θ0 随 μ 的增大而增大. 由图 6 (b) 可知，当 β 较大时，纯 II 型加载角度 θ0 随 α 增 大而逐渐增大，这与 β 较小时的情况正好相反，并 且随着摩擦系数的增大，θ0 的增大速度也越快，也 即在 α 一定时，θ0 随 μ 的增大也在增大. 此外，总 体来看，当 β 较小时，载荷分布角度及摩擦系数对 θ0 的影响程度相对较小；而当 β 较大时，α 及 μ 对 θ0 的影响程度相对较大. 以 q(θ) 为常数函数且 μ=0 为例，当 β=0.2 时，相对于集中载荷情况下的 纯 II 型加载角度 (θ0=28.7°)，α=15°时 θ0 减小了 3%； 而 当 β=0.8 时 ，相对于集中载荷情 况 (θ0=13.1°)， α=15°时 θ0 增大了 13%. 3 结论 基于断裂力学的权函数法推导出分布载荷为 均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次函数形式 时考虑端部摩擦的 CCBD 试样 I、II 型应力强度因 子及 T 应力的级数形式解析解，并在此基础上探 究了接触载荷分布角度及摩擦系数对断裂参数的 影响. 具体结论如下： (1) 当中心裂纹相对长度 β 较小时，纯 I 型、纯 II 型断裂的几何参数随摩擦系数增大而近似线性 减小（对 T*而言指其绝对值）；当 β 较大时，摩擦系 数增大可使纯 I 型 YI 近似线性增大，其它几何参 数依旧减小. (2) 当 β 较小时，接触载荷分布角度增大可使 纯 I 型、纯 II 型断裂的几何参数减小；而当 β 较大 时，载荷分布角度增大可使纯 II 型 T*增大. (3) 接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分 布角度对几何参数 YI、YII 及 T*的影响最显著，其 次是椭圆函数、二次函数，而四次函数下载荷分布 角度对几何参数的影响相对最小. (4) 当 β 较小时，纯 II 型加载角度随载荷分布 角度增大而减小；但是，当 β 较大时，其随载荷分 布角度的增大而增大. 当载荷分布角度一定时，摩 擦系数增大可使纯 II 型加载角度增大. 参 考 文 献 Atkinson C, Smelser R E, Sanchez J. Combined mode fracture via the cracked Brazilian disk test. Int J Fract, 1982, 18（4）: 279 [1] Fett T. T-stresses in rectangular plates and circular disks. Eng Fract Mech, 1998, 60（5-6）: 631 [2] Fett T. Stress intensity factors and T-stress for single and doubleedge-cracked circular disks under mixed boundary conditions. Eng Fract Mech, 2002, 69（1）: 69 [3] Dong S M, Wang Y, Xia Y M. Stress intensity factors for central cracked circular disk subjected to compression. Eng Fract Mech, 2004, 71（7-8）: 1135 [4] Akbardoost J, Rastin A. Comprehensive data for calculating the higher order terms of crack tip stress field in disk-type specimens under mixed mode loading. Theor Appl Fract Mech, 2015, 76: 75 [5] Smith D J, Ayatollahi M R, Pavier M J. The role of T-stress in brittle fracture for linear elastic materials under mixed-mode loading. Fatigue Fract Eng Mater Struct, 2001, 24（2）: 137 [6] Dong Z, Tang S B, Lang Y X. Hydraulic fracture prediction theory based on the minimum strain energy density criterion. Chin J Eng, 2019, 41（4）: 436 （董卓, 唐世斌, 郎颖娴. 基于最小应变能密度因子断裂准则的 岩石裂纹水力压裂研究. 工程科学学报, 2019, 41（4）：436） [7] Liu H Y. Initiation mechanism of cracks of rock in compression and shear considering T-stress. Chin J Geotech Eng, 2019, 41（7）: 1296 （刘红岩. 考虑T应力的岩石压剪裂纹起裂机理. 岩土工程学报, 2019, 41（7）：1296） [8] Ayatollahi M R, Aliha M R M. Mixed mode fracture in soda lime glass analyzed by using the generalized MTS criterion. Int J Solids Struct, 2009, 46（2）: 311 [9] Aliha M R M, Ayatollahi M R. Analysis of fracture initiation angle in some cracked ceramics using the generalized maximum tangential stress criterion. Int J Solids Struct, 2012, 49（13）: 1877 [10] [11] Ayatollahi M R, Aliha M R M. On the use of Brazilian disc 0 2 4 6 8 10 12 14 16 13 14 15 16 17 18 19 (b) Uniform Quartic polynomial Critical loading angleθ0/ (°) α/(°) μ=0.0 μ=0.2 μ=0.4 μ=0.6 μ=0.8 μ=0.0 μ=0.2 μ=0.4 μ=0.6 μ=0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 28.0 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7 28.8 (a) Uniform Quartic polynomial Critical loading angleθ0/ (°) α/(°) μ=0.0 μ=0.0 μ=0.2 μ=0.2 μ=0.4 μ=0.4 μ=0.6 μ=0.6 μ=0.8 μ=0.8 图 6 载荷分布角度对纯 II 型加载角度的影响. （a）β=0.2；（b） β=0.8 Fig.6 Effect of the load distribution angle on the critical loading angle for pure mode II fractures: (a) β = 0.2; (b) β = 0.8 刘 建等： 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 · 7 ·
8 工程科学学报，第44卷，第X期 specimen for calculating mixed mode I-II fracture toughness of [23]Tang S B.Stress intensity factors for a Brazilian disc with a central rock materials.Eng Fract Mech,2008,75(16):4631 crack subjected to compression.Int J Rock Mech Min Sci,2017, [12]Hua W,Dong S M,Peng F,et al.Experimental investigation on 93:38 the effect of wetting-drying cycles on mixed mode fracture [24]Dong Z,Tang S B.Effect of confining pressure and diametrical toughness of sandstone.Int Rock Mech Min Sci,2017,93:242 force on stress intensity fracture in central cracked disk.ChinJ [13]Yin T B,Wu Y,Wang C,et al.Mixed-mode I+Il tensile fracture Comput Mech,2018,35(2):168 analysis of thermally treated granite using straight-through notch (董卓，唐世斌.围压与径向荷载共同作用下巴西盘裂纹应力强 Brazilian disc specimens.Eng Fract Mech,2020,234:107111 度因子的解析解.计算力学学报，2018,35(2)：168) [14]Awaji H,Sato S.Combined mode fracture toughness measurement [25]Markides C F,Pazis D N,Kourkoulis S K.Stress intensity factors by the disk test.J Eng Mater Technol,1978,100(2):175 for the Brazilian disc with a short central crack:Opening versus [15]Dorogoy A.Banks-Sills L.Effect of crack face contact and friction closing cracks.Appl Math Model,2011,35(12):5636 on Brazilian disk specimens-A finite difference solution.Eng [26]Hondros G.The evaluation of Poisson's ratio and the modulus of Fract Mech,2005,72(18):2758 materials of low tensile resistance by the Brazilian (indirect [16]Ayatollahi M R,Aliha M R M.Wide range data for crack tip tensile)test with particular reference to concrete.AustralianJAppl parameters in two disc-type specimens under mixed mode loading. Sci,1959,10(3):243 Comput Mater Sci,2007,38(4):660 [27]Fairhurst C.On the validity of the 'Brazilian'test for brittle [17]Xu J G,Dong S M,Hua W.Effect of confining pressure on stress materials.Int J Rock Mech Min Sci Geomech Abstr,1964,1(4): intensity factors determined by cracked Brazilian disk.Rock Soil 535 Mech,2015,36(7):1959 [28]Hung K M,Ma CC.Theoretical analysis and digital photoelastic (徐积刚，董世明，华文.围压对巴西裂纹圆盘应力强度因子影 measurement of circular disks subjected to partially distributed 响分析.岩土力学，2015,36(7)：1959) compressions.Exp Mech,2003,43(2):216 [18]Hua W.Xu J G,Dong S M,et al.Effect of confining pressure on [29]Wei XX,Chau K T.Three dimensional analytical solution for stress intensity factors for cracked Brazilian disk.InJAppl finite circular cylinders subjected to indirect tensile test.InJ Mechanics,2015,7(3):1550051 Solids Struct,,2013,50(14-15):2395 [19]Hua W,Li Y F,Dong S M,et al.T-stress for a centrally cracked [30]Japaridze L.Stress-deformed state of cylindrical specimens during Brazilian disk under confining pressure.Eng Fract Mech,2015 indirect tensile strength testing.J Rock Mech Geotech Eng,2015, 149:37 7(5):509 [20]Hou C.Wang Z Y,Liang W G.et al.Determination of fracture [31]Yu JH.Shang X C.WuPF.Influence of pressure distribution and parameters in center cracked circular discs of concrete under friction on determining mechanical properties in the Brazilian test: diametral loading:A numerical analysis and experimental results Theory and experiment.IntJSolids Struct,2019,161:11 Theor Appl Fract Mech,2016,85:355 [32]Markides C F,Kourkoulis S K.The stress field in a standardized [21]Li Y F,Dong S M,Hua W.T-stress for central cracked Brazilian Brazilian disc:The influence of the loading type acting on the disk subjected to compression.Rock Soil Mech,2016,37(11): actual contact length.Rock Mech Rock Eng,2012,45(2):145 3191 [33]Kourkoulis S K,Markides C F,Chatzistergos P E.The Brazilian (李一凡，董世明，华文.中心裂纹巴西圆盘压缩载荷下T应力研 disc under parabolically varying load:Theoretical and 究.岩土力学，2016,37(11)：3191) experimental study of the displacement field.Int J Solids Struct, [22]Hou C,Wang Z Y,Liang W G,et al.Investigation of the effects of 2012,49(7-8):959 confining pressure on SIFs and T-stress for CCBD specimens [34]Yu J H,Shang X C.Analysis of the influence of boundary pressure using the XFEM and the interaction integral method.Eng Fract and friction on determining fracture toughness of shale using Mech,2017,178:279 cracked Brazilian disc test.Eng Fract Mech,2019,212:57
specimen for calculating mixed mode I-II fracture toughness of rock materials. Eng Fract Mech, 2008, 75（16）: 4631 Hua W, Dong S M, Peng F, et al. Experimental investigation on the effect of wetting-drying cycles on mixed mode fracture toughness of sandstone. Int J Rock Mech Min Sci, 2017, 93: 242 [12] Yin T B, Wu Y, Wang C, et al. Mixed-mode I + II tensile fracture analysis of thermally treated granite using straight-through notch Brazilian disc specimens. Eng Fract Mech, 2020, 234: 107111 [13] Awaji H, Sato S. Combined mode fracture toughness measurement by the disk test. J Eng Mater Technol, 1978, 100（2）: 175 [14] Dorogoy A, Banks-Sills L. Effect of crack face contact and friction on Brazilian disk specimens —A finite difference solution. Eng Fract Mech, 2005, 72（18）: 2758 [15] Ayatollahi M R, Aliha M R M. Wide range data for crack tip parameters in two disc-type specimens under mixed mode loading. Comput Mater Sci, 2007, 38（4）: 660 [16] Xu J G, Dong S M, Hua W. Effect of confining pressure on stress intensity factors determined by cracked Brazilian disk. Rock Soil Mech, 2015, 36（7）: 1959 （徐积刚, 董世明, 华文. 围压对巴西裂纹圆盘应力强度因子影 响分析. 岩土力学, 2015, 36（7）：1959） [17] Hua W, Xu J G, Dong S M, et al. Effect of confining pressure on stress intensity factors for cracked Brazilian disk. Int J Appl Mechanics, 2015, 7（3）: 1550051 [18] Hua W, Li Y F, Dong S M, et al. T-stress for a centrally cracked Brazilian disk under confining pressure. Eng Fract Mech, 2015, 149: 37 [19] Hou C, Wang Z Y, Liang W G, et al. Determination of fracture parameters in center cracked circular discs of concrete under diametral loading: A numerical analysis and experimental results. Theor Appl Fract Mech, 2016, 85: 355 [20] Li Y F, Dong S M, Hua W. T-stress for central cracked Brazilian disk subjected to compression. Rock Soil Mech, 2016, 37（11）: 3191 （李一凡, 董世明, 华文. 中心裂纹巴西圆盘压缩载荷下T应力研 究. 岩土力学, 2016, 37（11）：3191） [21] Hou C, Wang Z Y, Liang W G, et al. Investigation of the effects of confining pressure on SIFs and T-stress for CCBD specimens using the XFEM and the interaction integral method. Eng Fract Mech, 2017, 178: 279 [22] Tang S B. Stress intensity factors for a Brazilian disc with a central crack subjected to compression. Int J Rock Mech Min Sci, 2017, 93: 38 [23] Dong Z, Tang S B. Effect of confining pressure and diametrical force on stress intensity fracture in central cracked disk. Chin J Comput Mech, 2018, 35（2）: 168 （董卓, 唐世斌. 围压与径向荷载共同作用下巴西盘裂纹应力强 度因子的解析解. 计算力学学报, 2018, 35（2）：168） [24] Markides C F, Pazis D N, Kourkoulis S K. Stress intensity factors for the Brazilian disc with a short central crack: Opening versus closing cracks. Appl Math Model, 2011, 35（12）: 5636 [25] Hondros G. The evaluation of Poisson's ratio and the modulus of materials of low tensile resistance by the Brazilian (indirect tensile) test with particular reference to concrete. Australian J Appl Sci, 1959, 10（3）: 243 [26] Fairhurst C. On the validity of the ‘Brazilian ’ test for brittle materials. Int J Rock Mech Min Sci Geomech Abstr, 1964, 1（4）: 535 [27] Hung K M, Ma C C. Theoretical analysis and digital photoelastic measurement of circular disks subjected to partially distributed compressions. Exp Mech, 2003, 43（2）: 216 [28] Wei X X, Chau K T. Three dimensional analytical solution for finite circular cylinders subjected to indirect tensile test. Int J Solids Struct, 2013, 50（14-15）: 2395 [29] Japaridze L. Stress-deformed state of cylindrical specimens during indirect tensile strength testing. J Rock Mech Geotech Eng, 2015, 7（5）: 509 [30] Yu J H, Shang X C, Wu P F. Influence of pressure distribution and friction on determining mechanical properties in the Brazilian test: Theory and experiment. Int J Solids Struct, 2019, 161: 11 [31] Markides C F, Kourkoulis S K. The stress field in a standardized Brazilian disc: The influence of the loading type acting on the actual contact length. Rock Mech Rock Eng, 2012, 45（2）: 145 [32] Kourkoulis S K, Markides C F, Chatzistergos P E. The Brazilian disc under parabolically varying load: Theoretical and experimental study of the displacement field. Int J Solids Struct, 2012, 49（7-8）: 959 [33] Yu J H, Shang X C. Analysis of the influence of boundary pressure and friction on determining fracture toughness of shale using cracked Brazilian disc test. Eng Fract Mech, 2019, 212: 57 [34] · 8 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
