Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 当|1时,,=∑:(21外处处发散);当>1时, ∑1=∑1(≤1内处处发散) =0一 推论二:对于幂级数∑a(=-b),必存在一个实数R≥0,使得在圆 b=R内级数处处收敛,同时在圆-b=R外级数处处发散。 *这个圆-b=R称为∑a(=-b)的收敛圆,而并径R称为收敛半径 收敛半径的求法,虽然有紧接着下面的常规方法,但是见p11的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3.幂级数的收敛圆和收敛半径 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆及其收敛半径: (1)R=lm当,这是因为,根据 D'Alembert判别法,有 a(-by21=-blmg<1时级数收敛。因此得 -b<r=lim (2)R=lm,这是因为,根据Cauy判别法,有 /aI lm(-by=-bmy<1时级数收敛。因此得 R=lim va, 4.幂级数∑a(2-b)在收敛区域内的性质 在收敛圆内绝对收敛,在收圆内的任何闭圆域上一致收敛。[ Abel theorem 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数,由Abel定理知幂Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 当 z 1 时 ， 0 1 1 n n z z  = = −  ( 1 z  外处处发散） ; 当 z 1 时 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z z n n z   + = = = − = − = − − −   ( 1 z  内处处发散）。 推论二：对于幂级数  ( )  = − k 0 k ak z b ，必存在一个实数 R  0 ，使得在圆 z − b = R 内级数处处收敛，同时在圆 z − b = R 外级数处处发散。 * 这个圆 z − b = R 称为  ( )  = − k 0 k ak z b 的收敛圆，而半径 R 称为收敛半径。 ** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3．幂级数的收敛圆和收敛半径： 在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1） 1 lim + → = n n n a a R ，这是因为，根据 D’Alembert 判别法，有 ( ) ( ) lim lim 1 1 1 1 = −  − − + → + + → n n n n n n n n a a z b a z b a z b 时级数收敛。因此得 1 lim + → −  = n n n a a z b R . （2） n n n a R 1 lim → = ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有 lim ( − ) = − lim  1 → → n n n n n n n a z b z b a 时级数收敛。因此得 n n n a z b R 1 lim → −  = . 4．幂级数  ( )  = − k 0 k ak z b 在收敛区域内的性质： ◆ 在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem]. ◆ 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂