athematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明 ∑a(-byd=∑a(=-y=∑a,=-by-(a-b] d ak ∑ak(=-b)2=∑a1(k+1 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑Cnz"的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)ncn”(k为实数);(2)(2"-1kn 解:(1)an=n‘cn, R=lim =lm =Im R n+1)c (2"-1 R2=lim lim 四扣2-2 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, 逐次求积分和导数任意次 ②收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p.1l的第二个菱形) 、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series) 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析] ◆ 和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ( )  ( )  ( ) ( )      = + +  =  = − − − + − = − = 0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b   = =   − + = =   − − =     =  − = + −     ◆ 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数   n=0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1）   n=0 n n k n c z （ k 为实数）； （2） ( )  = − 0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a = n c ， ( ) 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c → → → → + + + +   = = = = =   +   + . （2） (2 1 , ) n n n a c = − ( ) ( ) 2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c → → → = = = = − − 注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）