ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|-b<R内是解析的,则f(c) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(-)=∑a(=-b),其中 421%<(5)d=r"(k=012…),并且这样的展开是唯的 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:-b≤R上是绝对且一致收敛的。 在R和R之间取一圆CR 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f(二)= f(5) mids 其中二是闭圆域|-b≤R内的任一点。 因为 Z(ZK1 1-Z k=0 5-=(5-b)-(=-b)5-b1-g-b b(5-b 其中65B<1,即级数∑(B是收敛的。根据mm数M判别法, R e(R 级数 b是绝对且一致收敛的。那么(=-b )也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 f(二)= 2ri s 2丌i (-b)+/(5d5 ∫(5) 2i (=-b)=∑a1(=-b), k=0Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z − b  R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数  ( )  = = − 0 ( ) k k f z ak z b ，其中 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b     + = = = −  （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1  R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z −  上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C  ： b R1  − =  ，根据 Cauchy 积分公式，有   − = 1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z     ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z −  内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z  =   =      −  ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b        =   − = = =   − − − − − − − − −   −  其中 1 1 1    − − R R b z b  ，即级数   =          0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数   =         − − k 0 k b z b  是绝对且一致收敛的。那么 ( ) ( ) ( ) 0 1   f b z b k k k       − −   = + 也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b                 + =   + = =   − = =   −   −     = −  −     −        