ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 其中 a (最后一步用到了k阶导数的 Cauchy积分式,k=0,1,2,…, see Chapt2P1)。由于 f(5)是解析的,它必是连续的,因此()≤M,利用 Cauchy不等式( see Chapt 2P3y,有r“(b) ry,所以/ MK! (=-b)|sM|(k=012…) k R 因为级数(R丫是收敛的,所以幂级数S八“(b)(z-b在闭圆域 k -b≤R上是绝对且一致收敛的。 下面证明展开的唯一性: 假设两个级数在区域上-b≤R都收敛到f(-), f()=∑a(z-b)=∑c(=-by, 取极限z→b,由于级数在收敛域内是一致收敛的,故有 ao=C=f(b) 逐项微商,再取极限二→>b,又得a=q1=f(b) 如此继续,即可证得,4≈c=f(b)(展开了且用中心值二=b确定) k ◆ Cauchy- Taylor定理的唯一性告诉我们 (1)可以用任何方便的方法来求其展开系数 (2)如果在同一点展开的两个 Taylor级数,则可以逐项比较系数 ◆因为 Taylor级数在其收敛圆内是一个解析函数,所以被展开的函数如果有奇 点的话,只能在收敛圆上或收敛圆外。因此,函数展开为 Taylor级数,其 最大收敛半径必等于展开中心到被展开函数最近的奇点的距离 例1.1+==2(-1)=,奇点为=,因此收敛半径R==1 而在实数范围内,就不能理解收敛半径为何是1了,因为函数(1+x2)Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 11 其中 ( ) ! ( ) d ( ) 2 1 ( ) 1 1 k f b b f i a k C k k R = − =   +     (最后一步用到了 k 阶导数的 Cauchy 积分式, k = 0,1,2, , see Chapt 2. P.11)。由于 f ( ) 是解析的，它必是连续的，因此 f ()  M ，利用 Cauchy 不等式(see Chapt 2. P.13)，有 ( ) k k R Mk f b 1 ( ) ! ( )   ，所以 ( ) 1 1 ( ) ( ) 0,1,2, ! k k f b k R z b M k k R   −  =     （ ）. 因为级数   =          0 1 1 k k R R 是收敛的，所以 幂级数   = − 0 ( ) ( ) ! ( ) k k k z b k f b 在闭圆域 b R1 z −  上是绝对且一致收敛的。 下面证明展开的唯一性： 假设两个级数在区域 b R1 z −  都收敛到 f (z)，  ( )  ( )  =  = = − = − 0 0 ( ) k k k k k f z ak z b c z b ， 取极限 z →b ，由于级数在收敛域内是一致收敛的，故有 0 0 a c f b = = ( ). 逐项微商，再取极限 z →b ，又得 ( ) a1 = c1 = f  b . 如此继续，即可证得， ! ( ) ( ) k f b a c k k = k = （展开了且用中心值 z b = 确定）. ◆ Cauchy-Taylor 定理的唯一性告诉我们： （1）可以用任何方便的方法来求其展开系数。 （2）如果在同一点展开的两个 Taylor 级数，则可以逐项比较系数。 ◆ 因为 Taylor 级数在其收敛圆内是一个解析函数，所以被展开的函数如果有奇 点的话，只能在收敛圆上或收敛圆外。因此，函数展开为 Taylor 级数，其 最大收敛半径必等于展开中心到被展开函数最近的奇点的距离。 例1.   = = − + 0 2 2 ( 1) 1 1 n n n z z ，奇点为 z = i ，因此收敛半径 R =  i =1. 而在实数范围内，就不能理解收敛半径为何是 1 了， 因为函数 1 (1 ) 2 + x