Methods of Mathematical Physics (2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 在整个实轴上都是连续可导、并且任意阶导数都是存在的。 例2.函数f(x)=-e 的幂级数为f()=∑B()二,其中B()为 Bernoulli多项式(虽然它已知,但是写不出其通项,更写不出末项)。 由e-1=0解得k=12mk(k=0,±1,+2,…)。所以R=2兀.(分子有) 推论:假如 Taylor级数展开的函数f(z)在z=b 邻域为零,则f()≡0,即 a4=0(k=0,1,2…解析函数一致性定理 证明 f() d=0[:f(5)=0] ∫(5) 而a2(-)d5=1 因为f(z)在D内解析,函数f()(5-b) 除5=b点外解析,所以C内函数f(xz)(2-b)解析。由于边界值f(2)=0 决定了其内部值,所以I=0→a1=0→f()=0. 根据 Taylor级数公式,容易求得常见的几个函数的 Tay lor级数: ∑,(H n=∑(-1) (|<∞) (2n) 例:证明e=cosx+ ISIn 2 证明:Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 12 在整个实轴上都是连续可导、并且任意阶导数都是存在的。 例2. 函 数 ( ) 1 tz z ze f z e = − 的 幂级数 为 0 ( ) ( ) ! n n n z f z B t n  = = ，其中 () B t n 为 Bernoulli 多项式（虽然它已知，但是写不出其通项，更写不出末项）。 由 1 0 z e − = 解得 2 ( 0, 1, 2, ) k z i k k = =    。所以 R = 2 .  （分子有 z ） 推论：假如 Taylor 级数展开的函数 f z( ) 在 z b = 邻域为零，则 f z( ) 0,  即 0 ( 0,1,2, ). k a k = = 解析函数一致性定理 证明： ( ) 1 1 ( ') d ' 0 [ ( ') 0], 2 ' b k k C f a f i b      + = = = −  而 ( ) 1 1 ( ) d . 2 k k C f a I i b     + =  −  因为 f z( ) 在 D 内解析，函数 f z b ( ) /( )  − 除  = b 点外解析，所以 C 内函数 f z b ( ) /( )  − 解析。由于边界值 f ( ') 0  = 决定了其内部值，所以 0 0 ( ) 0. k I a f z =  =  = 根据 Taylor 级数公式，容易求得常见的几个函数的 Taylor 级数：   = = 0 ! n n z n z e ，（ z   ）   = + + = − 0 2 1 (2 1)! sin ( 1) n n n n z z ，（ z   ）   = = − 0 2 (2 )! cos ( 1) n n n n z z ，（ z   ）   = = 1− 0 1 n n z z ，（ z 1 ）. 例：证明 e z i z iz = cos + sin . 证明：