ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 2k+1 (i) (2k)!6(2k+1) 2+=cos:+isin 2k) (2k+1) 2.多值函数的 Taylor级数(有限远常点附近的级数展开 对于多值函数,在确定单值分支后,可以象单值函数一样展开。 例1:在二=0的邻域展开h(1+) 解:h(1+)的支点为z=-1和z=∞,由z=-1沿负实轴到=∞作割线 (当然有其它作法,只是这样作割线,其收敛半径最大)。 取单值分支:规定上岸arg(1+x)==, 则下岸ag(+x)=q=-丌.因此, z=-1+pe(-x<g<x),那么 0=-1+1·e0.于是 h(1+=)==h(1e")=0 又 (-1)"(n-1) 于是,h1+2)=∑D(-=(D=<1:R=(=0→-D 自证:若取另一单值分支:规定上岸arg(1+x)=q=3x,则下岸 arg(1+-)==z因此,z=-1+pe(x<q<3m).那么,=0=-1+1·e2x(此 2n是因为再加上就有上岸的3z).于是h(1+)=h(1e2)=2m 又lh(1+-) =(-1)-(n-1) (1 -1+1·eMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 ! 2 ! 2 1 ! 1 1 cos sin . 2 ! 2 1 ! n k k iz n k k k k k k k k iz iz iz e n k k z i z z i z k k +    = = =   + = = = = + + − − = + = + +      2. 多值函数的 Taylor 级数（有限远常点附近的级数展开）： 对于多值函数，在确定单值分支后，可以象单值函数一样展开。 例 1：在 z = 0 的邻域展开 ln(1+ z). 解： ln(1+ z) 的支点为 z = −1 和 z =  ，由 z = −1 沿负实轴到 z =  作割线 （当然有其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。 取单值分支：规定上岸 arg(1+ z) =  =  ， 则下岸 arg(1+ z) =  = − . 因此，   i z = −1+ e (−     ) ，那么 0 0 1 1 i z = = − +  e . 于是 ln(1 ) ln(1 ) 0 0 0 + =  = = i z z e . 又 ( ) ( ) 1 0 0 1 1 0 d ( 1) ( 1)! ln(1 ) d 1 ( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)! 1 1 1 n n n n z z n n n i n z z z n n e − = = − − − − + = + − − = = − − − +  于是，    =  − = − − = − − + = 1 1 1 1 ( 1) ! ( 1) ( 1)! ln(1 ) n n n n n n z n z n n z [ z R z  = = → − 1, 1( 0 1) ]. 自 证 ： 若取另一单值分支：规定上岸 arg(1+ z) =  = 3 ，则下岸 arg(1 ) + = = z   .因此，   i z = −1+ e (    3 ) . 那么， 2 0 1 1 i z = = − +  e （此 2 是因为再加上  就有上岸的 3 ）. 于是 z e i i z   ln(1 ) ln(1 ) 2 2 0 + =  = = . 又 ( ) ( ) ( 1) ( 1)! 1 1 1 ( 1) ( 1)! 1 ( 1) ( 1)! ln(1 ) d d 1 2 1 0 1 0 = − − − +  − − = + − − + = − − = − = n e n z n z z n n i n z n n z n n 