athematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 于是h(1+-)=2m+>(-)"(n-) 2m+2D2:(:x1) 还可取其他分支:1(1+)=2km+S(-1) (X)例2:在z=0的邻域展开(1+z)2(a为非整数)。 解:(1+z)的支点为z=-1和z=∞,由z=-1沿负实轴到z=∞作割线(当然有 其它作法,只是这样作割线,其收敛半径最大)。 取单值分支:规定上岸arg1+z)=g=丌,则下岸arg(1+x)==-z.因此, z=-1+pe°(-<p<丌).那么,z=0=-1+1·e0.于是 2 (1e")=1, d= 1+-1+1 =a(a-1), n(1+z) 1)(1 因此,(1+)=1+∑ a-)-(a-n+D2(<n n 若取另一单值分支:规定上岸arg(1+z)==3x,则下岸arg(1+z)== 因此z=-1+pe"(x<<3r).那么=0=-1+1·e2x.于是 (1+) +1)(1+Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 14 于是    =  − = − − = + − − + = + 1 1 1 1 ( 1) 2 ! ( 1) ( 1)! ln(1 ) 2 n n n n n n z n z i n n z i  （ z 1 ） 还可取其他分支:   = − − + = + 1 1 ( 1) ln(1 ) 2 n n n z n z ki . （X）例 2：在 z = 0 的邻域展开  (1+ z) （  为非整数）。 解：  (1+ z) 的支点为 z = −1 和 z =  ，由 z = −1 沿负实轴到 z =  作割线（当然有 其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。 取单值分支：规定上岸 arg(1+ z) =  =  ，则下岸 arg(1+ z) =  = − . 因此，   i z = −1+ e (−     ) . 那么， 0 0 1 1 i z = = − +  e . 于是 (1 ) (1 ) 1 0 0 + =  = =  i  z z e , ( ) ( )     + = + = + − +  = − =− +  − = 1 0 1 1 1 0 (1 ) 1 1 1 1 d d 0 i z e z z z e z i , ( )( ) ( )( ) ( ) 0 2 2 2 0 2 1 1 0 d (1 ) 1 1 1 1 1 1 d 1 , i i z e z z z e z          − − =− +  = + = − + = − + − +  = − … … ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 d (1 ) 1 1 1 d 1 1 . i n n n z e z z n z z n         − =− +  = + = − − + + = − − + 因此， ( )   = − − + + = + 1 ! 1 ( 1) (1 ) 1 n n z n n z      ( 1). z  若取另一单值分支：规定上岸 arg(1+ z) =  = 3 ，则下岸 arg(1+ z) =  =  . 因此   i z = −1+ e (    3 ). 那么 2 0 1 1 i z = = − +  e . 于是      2 2 1 (1 ) (1 ) 2 i i z e z e e + i =  = =− + ， ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 2 d (1 ) 1 1 1 d 1 1 . i n n n z e z i z n z z n e           − =− +  = + = − − + + = − − +