Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 因0+y=c-+)m2]D 3.在无穷远点的 Taylor展开(解析函数的 Taylor级数展开) 如果∫(z)在z=∞解析,则也可以在z=∞展开成 Taylor级数。 作变换z=,则在t=0点解析,将在t=0点展开成 Tay lor 级数,故 apt,7<I 则f()=∑“,|> f(=)在∞点的 Taylor级数只有常数项和负幂项。 例 1-zz1-1/zz ∑女=-∑(=1 四.解析函数的 Laurent级数展开 Expand to the laurent series Review: ==x+iy, f()=u(x,y)+iv(x, y) CRCS: l=vul CI: f(=d==0. CIF: f(=)Ari y,k( f"( f(3)-d5 -ay=2n6,∑手c(-ad=2e,;(留数e,) 0<|=-d<RIm(-a)()=4:∮/(x=2m4 大圆弧引理:如果f(x)在区域D:R≤|-d<m,2 G≤arg(z-a)≤2上连续,且当x(z∈D)→时,(z-a)f(=)一致地趋于K 则m[f()d=K(2-9),其中,C是以a为圆心,R为半径,夹角为B2-B 的圆弧|-d=R2sag(x-a)≤B2 习题22求积分|==(=+y2(m=012…)Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 15 因此， ( )       − − + + = +  =1 2 ! 1 ( 1) (1 ) 1 n i n z n n z e       ( 1). z  3. 在无穷远点的 Taylor 展开（解析函数的 Taylor 级数展开）： 如果 f (z) 在 z =  解析，则也可以在 z =  展开成 Taylor 级数。 作变换 t z 1 = ，则       t f 1 在 t = 0 点解析，将       t f 1 在 t = 0 点展开成 Taylor 级数，故   =  =      0 1 k k k a t t f ， t  r . 则 ( )   = = k 0 k k z a f z ， r z 1  . f (z) 在  点的 Taylor 级数只有常数项和负幂项。 例： 1 0 0 1 1 1 1 1 1 (| | 1). 1 1 1/ k k k k z z z z z z z   + = = − − = = = −  − −   四． 解析函数的 Laurent 级数展开 (Expand to the Laurent series) Review： z x iy f z u x y iv x y = + = + , ( ) ( , ) ( , ). CRCs： , . x y y x u v u v = = − CI: ( )d 0. l f z z + =  CIF: ( ) 1 1 ( ) ! ( ) ( ) d , ( ) d . 2 2 ( ) n n l l f n f f z f z i z i z         + + + = = − −   1, d 2 ; ( )n n l z i z a   + = −  1 ( ) d 2 ; n l n n + c z a z ic   − =−  − =  （留数 1 c− ） 0 , lim( ) ( ) : z a z a R z a f z A →  −  − = ( )d 2 . l f z z iA  + =  [大 圆 弧 引理 ]： 如果 f (z) 在区域 D ： R  z − a   ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z( D)  →  时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ， 则 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR ，其中， CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 −1 的圆弧: 1 2 z − a = R,  arg(z − a)  . 习题 2.2. 求积分 2 | | 1 1 d ( ) ( 0,1,2, ). n z z I z n z z + = = + = 