Methods ofMathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 解: (1+2)d 令:2=z,=e",z=2,则出=,1=252-,其中前因子2是 因为的幅角转动一圈时Z的幅角转动二圈,而其积分将仅转动一圈。因为 (1+2)2的n次幂的系数为n=h)所以/≈2m(1+2) =2丌 (n!)2 n)2 一个函数除了可以在解析点作 Taylor(圆域内单连通、无奇点)展开外,有 时还需要将它在奇点附近展开成幂级数(环域内解析),此即 Laurent展开 1. Laurent定理:设函数f(-)在环形区域r<=-b<R内是单值解析的,则 ∫(z)可以在此环形区域内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数 1f(-d5 f()=∑a(-b),其中a4=2mJ(-by k=-oo [l是环域内围绕z=b一周的任何闭曲线(详见证明 过程,只要P2>并且遍及全解析区域一只能围绕 z=b一周),积分沿逆时针方向],并且这样的展开 是唯一的。 证明:这里所谓的在环域r<-b<R内一致收敛, 意即在任何一个外半径P2<R,内半径>r(点 画线)的闭环域ns=-b≤2上一致收敛。设是环域r<-b<R内任一点 且As-b≤2(粗实线附近).再取两个圆,-b=n1(=5)和 -b=72(2=5)(虚线),并满足r<n<A和n2<n2<R 根据复连通 Cauchy积分公式,有(天衣无缝的手术刀,且两者积分方向相同) 2)=1(d-15dgMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 16 解： 2 2 2 | | 1 (1 ) d . n n z z z I z z + = + =  令 2 2 , , , i i z Z z e Z e   = = = 则 d dZ , 2 z z Z = 2 1 | | 1 (1 ) 2 dZ , 2 n n Z Z I Z + + = + =  其中前因子 2 是 因为 z 的幅角转动一圈时 Z 的幅角转动二圈，而其积分将仅转动一圈。因为 2 (1 ) n + Z 的 n 次幂的系数为 2 2 (2 )! , ( !) n n n c n = 所以 ( ) 2 2 0 2 (2 )! (1 ) 2 . ! ( !) n n Z i n I Z i n n   = = + =     一个函数除了可以在解析点作 Taylor（圆域内单连通、无奇点）展开外，有 时还需要将它在奇点附近展开成幂级数（环域内解析），此即 Laurent 展开。 1．Laurent 定理：设函数 f (z) 在环形区域 r  z −b  R 内是单值解析的，则 f (z) 可以在此环形 区 域 内 展 开 为 绝 对 收 敛 且 一 致 收 敛 的 幂 级 数  ( )  =− = − k k f (z) ak z b ，其中 ( )  + − = l k k b f i a     d ( ) 2 1 1 [ l 是环域内围绕 z = b 一周的任何闭曲线(详见证明 过程，只要   2 1  并且遍及全解析区域—只能围绕 z = b 一周)，积分沿逆时针方向]，并且这样的展开 是唯一的。 证明：这里所谓的在环域 r  z −b  R 内一致收敛， 意即在任何一个外半径 2  R，内半径  r 1 （点 画线）的闭环域 1  −b  2 z 上一致收敛。设 z 是环域 r  z −b  R 内任一点， 且 1  −b  2 z （ 粗实线 附 近 ） . 再 取 两 个 圆 ， 1 z − b =  ( ) z =  和 2 z − b =  ( ) z =  （虚线），并满足 1 1 r    和 2   2  R. 根据复连通 Cauchy 积分公式，有(天衣无缝的手术刀，且两者积分方向相同)   − − − = 2 1 d ( ) 2 1 d ( ) 2 1 ( )           z f z i f i f z