第四章函数的连续性 教学目标:通过本章的教学,使学生 (一)掌握本章的基本概念,如函数在某点连续、单侧连续及其关系、函数在一个区间上按段连续、连 续和一致连续及其关系、间断点及其分类 (二)掌握连续函数的性质,其中包括(1)局部性质:局部有界性、局部保号性;(2)运算性质:四则运 算、复合运算严格单调的反函数均保持连续性;(3)闭区间上的连续函数的四大性质 (三)了解初等函数在其定义区间上连续,基本初等函数在其定义域内连续,利用 Riemann函数和 Dirichlet函数等会造一些特殊性质的函数 (四)在数学论证方法上得到初步的训练 置点:连续和一致连续的定义及之间的重要差别连续函数的性质及其应用,闭区间上连续函数的 性质的掌握及其应用 难点:一致连续性概念的理解和掌握 §1连续性概念 函数在一点的连续性 从字面上看,不难理解连续和间断是对立的概念,是事物互为否定的两个方面,它的实际背景是客 观事物的渐变和突变.从几何上讲连续函数的图形是一条连绵不断的曲线,但并非任何函数都可准确 地作出其图形的,因此要找出连续的本质特征,给出其糖确的定义为此,先给出增量的概念:称x-x 为自变量x(在x点)的增量或改变量(可正可负可为0),记作Ax,即Ax=x-x0,称f(x)-f(x)= f(xo+Ax)-f(x。)为函数y=f(x)(在x。点)的相应增量,记作Ay即Ay=f(xo+△r)-f(xa)= f(x)-f(x),(可正可负可为0) 以一个未成年的健康孩子的身高为例,孩子的身高y显然是时间t的增函数,但是再细心的父母也 无法说出自己的孩子今天比昨天高多少,这就是因为身高是连续变化的,不会发生突变!用增量的语言 来说就是当时间t的增量Δ很小时,身高函数y的相应增量y也很小,用极限的语言来说就是当时间 的增量M→0时,身高函数的相应增量4y也趋向于0这就是连续函数的本质特征 定义1-1-1设y=f(x)在U(x)内有定义,若may(=m[(x+4x)-f(x)])=0 则称f(x)在点x。连续.(增量极限 定义1-1-2设y=∫(x)在U(x)内有定义,若lm∫(x)=∫(x),则称f(x)在点r连续 (函数极限 注1°(由此见)f(x)在点x连续是指以下三个条件满足:①f(xn)有定义,②limf(x)3(有限本 章讲的极限均指正常极限),③两者相等 例如尽管f(x)=xsin,x≠0,g(x) h(x) 在x=0处 0 的极限均存在,但在x=0点,上述三函数中只有h(x)是连续的.由定义1-1-2,易见: 定义1-1-3f(x)在点x处连续>0,♂>0,当|x-x。<δ时,|f(x)-f(x)