<e(∵|f(x)-∫(x)|=0<,x点显然满足,∴极限定义中“0<”去掉)(e一8语言) 定义1-1-4∫(x)在点x处连续台ε>0,3♂>0,当x∈(x的♂邻域)U(x,B)时,f(x) ∈(f(x)的e邻域)(f(x0),e)(去心略去)(邻域语言) 定义1-1-5∫(x)在点x处连续{xn};若 limx=x0,则limf(xn)=f(x)(x异于x的 条件略去)(海因归结原则 定义1-1-6f(x)在点x0处连续Ve>0,38>0,使对x',x"∈U(xn,)时,|∫(x) f(x")|<e(去心条件略去)( Cauchy收敛准则) 以上定义是彼此等价的,在证明∫在x连续或不连续,或用∫在x连续的条件证明命题时,可根据 函数的结构和问题的需要选择上述某种叙述 注2f(x)在点x连续,则imf(x)=f(x)=f(limx)(极限运算与连续的对应法则可交换次 序) 例1证明f(x)=x·D(x)在点x=0处连续,其中 D(x)J1r∈g 注fGx)={ 1or∈RQ 0x∈R [xo,x。+b) lim f(r)=f(xo) 定义1-2设∫(x)在 内有定义,若 则称f(x)在点x。连续.由此 (x-8,x。 f(r)=fc 不难推出 理4一1f(x)在点x连续φ∫(x)在点x既左连续,又右连续 二、间断点及其分类 定义1-3设f(x)在某U(x)内有定义(x。处∫有无定义不限),但f(x)在点x不连续,则称 点x。为∫的间断点或不连续点 注1°若xo为∫的间断点:则必出现下列情形之一 (i)limf(x)(有限极限),但 在x6无定义 可去间断点 f(x)在x虽有定义,但f(x)≠Imf(x) (i)∫(x+0)和∫(x0-0)均存在(且有限)但不相等.一跳跃间断点 可去间断点和跳跃间断点统称作第一类间断点(其特征是∫在点x左右极限均彐的间断点) (i)(其它形式的间断点)f(x)在x。点至少有一侧极限不存在,x称作f的第二类间断点 (如limf(x)或lmf(x)或lim∫(x)=∞,特别地称作无穷间断点,属第二类) 例如(1)f(x)=xin1,x≠0和g(x)= n-x≠0 limf(x)=03,但f(0)无定义, 为的可去间断点 limg(x)=0≠g(0) 注2若x为函数f(x)的可去间断点只要补充或改变f(x)在x处的函数值即令 ff(r) (x)= 则∫(x)在x处连续 mf(x)x=了