1数量级分析及相似原理在导热中的应用 考虑第一类边界条件下一维半无限体的导热问题，如图1。假设半无限体的初温为T。, 在时间下=0时刻，裘面升为T1,则此问题的数学描述为： 0T?=c02Tdx2(0≤x<+∞，0≤T<+∞) T=0,T=T。(0≤x<+c∞) (1) t>0,x=0,T=T1,x-→+∞，T=T。 问题(1)的解为： (T-T)T。-T)=crf() (2) 其中71=x2√āx,crf()为误差函数，这早已被人们所究过，3)。求解的方法可以用分 离变量法(3)，格林凶数法3)等，这些方法大都很复杂，一般的教科书上1，？，只是简单 地假设一个变量)=x2、a对问题(1)进行变换求解，但没有说明得到变量？=x/2√ax的 由来，这个变量可用数量级分析！都似原理来求得。 T T>0 T=0 "=T Txeo-T T(x,T,) T(x,)儿 TT-0 0 8r( δ，2x. 图2不同时刻温度分布图 图1半无限大的水意图 Fig.1 Schemc of half infinite body Fig.2 Distribution of temperature in different time 1.1温度分布相似性的分析 图2是不同时刻的温度分布。不尖一般性，分析T1利1t2时刻温度分布的特点。T1和T2 时刻的温度分布分别为AB和AC。在t1时刻，温度由T1(A点)随x的增加而变化到T。(B 点)，在t时刻，温度由T1(A点)随x的增加变化到T。(C点)，这可能具有某种相似 性。若取任一位置x处，此处时刻的温度为T(x,T),T:时刻的温度为T(x,2),(如 图上所标)，显然〔T(x,1)-T)/(T。-T)〔T(x,2)-T1/(T。-T),即上述的 相似性不可能是绝对量的相似性。从图2中也可看出T:时刻的曲线AB短粗，T2时刻的曲 线AC瘦长。但如将位置x改为相对位置x/6,()(ò(t)为t时刻的热层厚度，即·时刻边界 上温度扰动所扩散的厚度)，则可能有下式成立： {TCx/δ.(T),T1]-T1}/(T。-T)={T〔x/6,(t2),t2〕-T1}(T。-T) (3) 式(3)就意味着相似关系的存在，“下面就证明这一相似关系。 327‘ 数量级分析 及相似原理在 导热 中的 应用 考 虑 第一 类边界 条件下一 维 半无限 体 的 导热 问题 ， 如 图 。 假设 半无 限体 的初温 为 。 ， 在时间 二 时 刻 ， 表 面升为 ， 则此 问题的数 学描述 为 厂 乙丁 。 口“ 」 二 “ 镇 ， 簇 丁 、 丁 ， 义 了 ， 了 。 毛 工 ， ， 工 ， 二 。 问题 的解为 一 ， ， ’ 厂 。 一 二 其 中 ，， 二 厂 侧 。 ， 。 为 误 差函数 ， 这早 已被 人 们 研 究过 〔 ’ 〕 。 求解 的 方法可 以用分 离 变量法 〔 “ 〕 ， 格林 函数 法 〔 “ 〕 等 ， 这些 方法大 都 很复 杂 ， 一般 的 教科 书上 〔 ‘ ’ 〕 ， 只是 简 单 地假设 一 个变 量 刀 州 ’ 、 对 问题 进 行变换 求 解 ， 但 没 有说 明得到 变 量 刃 到 侧云了 的 由来 ， 这个 变 量可 用 数 虽级分析 和 相似原 理 来求 得 。 丁 几 留 几 “ 毛 ‘ 蔺万芍 丁一 上 一公 ︸ 以 ， 几 丁 ， 下 几 ， 图 半 无 长大 物 沐 示意 图 主 五 图 不 同 时刻 温度分 布 图 。 温 度分布 相似 性 的分 析 图 是不 同时刻 的温 度分 布 。 不 失一 般性 ， 分 析 ， ，和 二 时刻温度分 布的特 点 。 二 ， 和 ， 时刻 的温 度分 布分 别为 和豆 。 在二 ，时 刻 ， 温 度 由 ， 注 点 随 二 的 增加 而 变 化 到 。 点 ， 在 ， 时刻 ， 温 度 由 工 点 随二 的增 加 变化 到 。 点 ， 这可 能 具有某种 相 似 性 。 若 取任一位置 处 ， 此处 ， 时刻的温 度为 ， 丁 ， ， 。 时刻的 温度为 ， 丁 ， 如 图上所 标 ， 显 然 〔 二 ， 丁 一 〕 。 一 工 斗 〔 ， 一 〕 。 一 ， 即上述 的 相 似性不可 能是绝 对 量 的 相 似性 。 从 图 中也可 看 出二 ， 时刻的 曲线 短粗 ， 时 刻 的 曲 线 瘦长 。 但如将 位置 二 改 为 相对 位置 二 二 幼 为 二 时刻 的热 层厚度 ， 即 二 时 刻边界 上温度 扰动所 扩散 的厚度 ， 则可 能有 下 式成 立 笼 〔 占 丁 ， ， 丁 〕 一 ， 。 一 ’ 〔 丫 ， 下 〕 一 ， 。 一 式 就意味着相 似关 系的存 在 ， 一厂面就证 明这一 相 似关 系