1.2用数置级的比较及数学查换证明上述相似性的存在 前面已经分析了温度用(T-T)(T。~T)表示。坐标以x/ò，()表示，则不同时刻 温度分布有可能相似。现假如是相似的，则必然可以用变换的方法将问题(1)变换成只含有 一个变量的常微分方程，而且初始条件和边界条件也必须变换成只有一个变量的情形。下面 首先用数量级分析方法求出6，()的量级，再作相似性的证明。 (1)d.()的量级分析。由于时间T是由0变到下，x由0变到δ，()，T由T。变到T1, 所以由1)式可得： (T1-To)/x~a(T1-T。)/d(t) 所以，6(t)~VaT (4) 即有d,(r)是√ax量级。 (2)相似性证明，因为δ，()~√at,所以不妨取相对量为x/√ax,且用7表示，即 n=x√at。另外，令(T-T)(T。-T)=9,用6和n对(1)式进行变换可得： d20/dn2+(1/2)nd8/dn=0 (5) 显然此方程是含一个变量的常微分方程。再看边界条件和初始条件：由(1)可知，当下=0和 T>0,x→+∞时，T都为T。,而r=0和x→+∞对应于7+∞，所以问题(1)通过变换后， 初始条件和一个边界条件合并成一条件，即→∞，8=1多另一个条件为x>0,x=0,T=T1, 这对应于→0，日=0，显然定解条件也只有一个变量。由此可知，温度分布是相似的。 式(5)在定解条件下的解为： 0=erf(n/2) (6) 这与(2)式完全相同。 2热层与边界层的类似性副析 2,1热层与边界层的发展的类似性 图3（α）是速度为“、温度为T.的粘性流体流过纵掠温度为T,的平壁时的温度边界层和 速度边界层。图中，δu(x)和6(x)分别是速度边界层和温度边界层的厚度。图3(b)为第一类 边界条件下半尤限体不稳态导热中的热层，因为d.(x)是√t量级，所以才能有图3(b)的曲 线)。显然，图3(a)和图3(b)非常类似，只不过是du(x)、0r(x)是x的函数，而6，()是时 间T的函数。 2,2层内输运量分布曲线的类似性 速度边界层内输运的量是动量，代表量为速度“，温度边界层内输运量为能量，代表量 是温度T,热层内输运量也是能量，其代表量也是温度T,如图4中(a)、(b)、(c)分别为各 自输运量的代表量的分布，图中的符号同前。图4表明，输运量的分布曲线非常类似。 328用数 级 的比较 及数学变换证 明上述相似 性的存在 前 面 已经 分析 了温 度 用 一 ， ，‘ 。 一 表示 。 坐 标 以 厂 ， 表 示 ， 则不 同时刻 温 度 分 布有可 能 相似 。 现假 如是 相似的 ， 则 必 然可 以用 变换的 方法将 问题 变 换成 只含有 一 个 变 量 的常 微分方程 ， 而且初 始条件和边界条件 也必须变换成 只 有一 个 变 量的 情形 。 下 面 首先用数 量级 分析方法 求出 钓 的量 级 ， 再作相似性 的 证 明 。 ， 哟 的 量级分析 。 由于 时 间 ， 是 由 。 变到 二 ， 由 。 变到占 ， 幼 ， 由 。 变到 ，， 所 以 由 式可 得 一 。 了 一 · ， 一 。 子 碑声碑 所 以 ， 二 一 训 即有 ， 劝 是 训 丁 量级 。 相似性 证 明 ， 因 为 二 一 训叮 ， 所 以不妨 取 相对 量 为 刃 训 砰 。 另外 ， 令 一 ， 。 一 工 ， 用 和 ，对 ， 闷 声 训 ， 且 用，表 示 ， 即 式进 行 变换 可 得 “ 刃 刀 刀 显 然此 方程是 含一 个变 量的常微 分方程 。 再看边 界条件和初始条件 由 可 知 ， 当， 二 和 ‘ 。 ， ” 时 ， 都为 。 ， 而‘ 二 。 和 ‘ 十 对 应于 ，” ， 所 以问题 通 过变 换后 ， 初始条件和一 个边界条件合并成 一 条件 ， 即刃” ， 另一 个条件为‘ ， 。 ， ， ， 这对 应于 ， 。 ， ， 显 然定解 条件也 只有一 个 变 量 。 由此可 知 ， 温 度分 布是相似的 。 式 在定 解条件下 的 解为 口 甲 这 与 式完全相 同 。 热层与 边界层的 类似性剖析 热 层与 边 界 层 的发展 的类似 性 图 。 是速度为 “ 、 温 度为 的 枯性流体 流过 纵 掠温 度为 的平壁 时 的温 度 边 界层和 速度 边界层 。 图中 ， 二 和 分别 是 速度 边 界层 和温 度边 界层 的厚度 。 图 为 第一 类 边界条件 下 半无限体不 稳态 导热 中的 热层 ， 因为 动 是 认 “ 量级 ， 所 以 才能 有 图 的曲 线 。 显 然 ， 图 和 图 非常类似 ， 只不 过是 ‘ 、 是 的函数 ， 而 占 是 时 间 丁 的 函 数 。 层 内输运 分布 曲线 的类似 性 速度 边界 层 内输运 的 量 是动 量 ， 代 表 量 为 速度 。 ， 温度边界层 内输运 量 为 能量 ， 代 表量 是温 度 ， 热 层 内输运 量也 是 能 量 ， 其 代 表量也是温 度 ， 如 图 中 、 、 分 别 为 齐 自输 运 量的代 表 量的分 布 ， 图中的符号同前 。 图 表 明 ， 输运 量的分 布曲线 非常类似