的标准形是唯一的。正毕。 定义6标准形的主对角线上非零元素d,(2),d,(),.d,()称为元一矩阵A2)的不变因子。 定理5两个入一矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子：或者，它们有相同的不变因 子。 证明等式(2)与(3)表明一矩阵的行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，两个矩 阵有相同的各阶行列式因子，就有相同的各阶不变因子。 必要性已由定理3证明。 充分性是显然的。事实上，若元一矩阵A()与B()有相同的不变因子，则4()与B()和同 一个标准形等价，因而A(2)与B()等价。证毕。 由(3)可以看出，在1一矩阵的行列式因子之间，有关系 D(aD()(k=l,2,.,r-l). (4) 在计算入一矩阵的行列式因子时，常常先计算最高阶的行列式因子，由(4)便可大致确定低阶 行列式因子的范围了 我们来看可逆矩阵的标准形。设4)为n×n可逆矩阵，由定理1知 4(2)=d≠0。 于是D(2)=1,从而由(4)可知D()=1(k=1,2,.,n),因此 d()=1(k=12.,m). 由此可知，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E。反之，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的 行列式是一个非零的数。因此矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价。由于A()与B()等价的 充要条件是有一系列初等矩阵R,B,P,Q,Q2,.,Q,使 A()=PE.PB(2)2g2Q, 令B(2)=E,就得到 定理6矩阵A()可逆的充要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。 推论两个s×n的元一矩阵A(2)与B()等价的充要条件是，有一个sx5可逆矩阵P(2)与 个n×n可逆矩阵Q(2)使 B()=P(a)AA)Q()。 作业：P357,习题4。的标准形是唯一的。证毕。 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 1 2 ( ), ( ), ( ) r d d d    称为  —矩阵 A( )  的不变因子。 定理 5 两个  —矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子；或者，它们有相同的不变因 子。 证明 等式（2）与（3）表明  —矩阵的行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，两个矩 阵有相同的各阶行列式因子，就有相同的各阶不变因子。 必要性已由定理 3 证明。 充分性是显然的。事实上，若  —矩阵 A( )  与 B( )  有相同的不变因子，则 A( )  与 B( )  和同 一个标准形等价，因而 A( )  与 B( )  等价。证毕。 由（3）可以看出，在  —矩阵的行列式因子之间，有关系 1 ( ) ( ) ( 1,2, , 1) D D k r k k   + = − 。 （4） 在计算  —矩阵的行列式因子时，常常先计算最高阶的行列式因子，由（4）便可大致确定低阶 行列式因子的范围了。 我们来看可逆矩阵的标准形。设 A( )  为 n n 可逆矩阵，由定理 1 知 A d ( ) 0  =  。 于是 ( ) 1 D n  = ，从而由（4）可知 ( ) 1 ( 1,2, , ) D k n k  = = ，因此 ( ) 1 ( 1,2, , ) k d k n  = = 。 由此可知，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E 。反之，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的 行列式是一个非零的数。因此矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价。由于 A( )  与 B( )  等价的 充要条件是有一系列初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , P P P Q Q Q s t ，使 A( )  1 2 1 2 ( ) = PP P B Q Q Q s t  ， 令 B E ( )  = ，就得到 定理 6 矩阵 A( )  可逆的充要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。 推论 两个 s n 的  —矩阵 A( )  与 B( )  等价的充要条件是，有一个 s s  可逆矩阵 P( )  与一 个 n n 可逆矩阵 Q( )  使 B P A Q ( ) ( ) ( ) ( )     = 。 作业: P357,习题 4