分成两部分，而等于4(2)的一个k阶子式与另一个k阶子式的±(2)倍的和。因此f(2)是4()的 k阶子式的公因式，从而f(2)g()。 对于列变换，证明完全一样。总之，如果A()经过一次初等变换变成B(),那么f()g()。 但由初等变换的可逆性，同样可得g(2)/(),于是f()=g(2)。 当A()的k阶子式全部为零时，B()的k阶子式也全部为零：反之亦然。因此，A()与B() 有相同的秩与相同的各阶行列式因子。证毕。 现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为 d(A) d,(a) d,(a) (1) 0 其中d,(2,d,(,.d,()是首项系数为1的多项式，且d()d(2i=l,2,.,r-l).不难看出 在这种形式的矩阵中，如果一个k阶子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k阶子式一定为 零。因此，为了计算k阶行列式因子，只要看由，占.，4行与，.，4列组成的k阶子式就行了， 而这个k阶子式等于d,(2)d,().d,()。显然，这种k阶子式的最大公因式就是 d(2)d,().d()(k=1,2,.,r). 定理4入一矩阵的标准形是唯一的。 证明设(1)是A()的标准形。由于A()与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因 子，因此，4()的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r:4()的k阶行列式因子就是 D,()=d,(a)d,().d() (2) 于是 4()=D(,d(= D(2) 4(=2 D() (3) 这说明A()的标准形(1)的主对角线上非零元素是被A()的行列式因子所唯一决定的，所以4(2) 分成两部分，而等于 A( )  的一个 k 阶子式与另一个 k 阶子式的  ( ) 倍的和。因此 f ( )  是 A( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。 对于列变换，证明完全一样。总之，如果 A( )  经过一次初等变换变成 B( )  ，那么 f g ( ) ( )   。 但由初等变换的可逆性，同样可得 g f ( ) ( )   ，于是 f g ( ) ( )   = 。 当 A( )  的 k 阶子式全部为零时， B( )  的 k 阶子式也全部为零；反之亦然。因此， A( )  与 B( )  有相同的秩与相同的各阶行列式因子。证毕。 现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d d          ， （1） 其中 1 2 ( ), ( ), ( ) r d d d    是首项系数为 1 的多项式，且 1 ( ) ( )( 1,2, , 1) i i d d i r   + = − 。不难看出， 在这种形式的矩阵中，如果一个 k 阶子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 阶子式一定为 零。因此，为了计算 k 阶行列式因子，只要看由 1 2 , , k i i i 行与 1 2 , , k i i i 列组成的 k 阶子式就行了， 而这个 k 阶子式等于 1 2 ( ) ( ) ( ) k i i i d d d    。显然，这种 k 阶子式的最大公因式就是 1 2 ( ) ( ) ( ) k d d d    ( 1,2, , ) k r = 。 定理 4  —矩阵的标准形是唯一的。 证明 设（1）是 A( )  的标准形。由于 A( )  与（1）等价，它们有相同的秩与相同的行列式因 子，因此， A( )  的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ； A( )  的 k 阶行列式因子就是 ( ) Dk  = 1 2 ( ) ( ) ( ) k d d d    （2） 于是 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) ( ) ( ) r r r D D d D d d D D         − = = = 。 （3） 这说明 A( )  的标准形（1）的主对角线上非零元素是被 A( )  的行列式因子所唯一决定的，所以 A( ) 