$3不变因子 教学目标掌握行列式因子的概念与性质，不变因子的概念，二入一矩阵等价的充要条件，入一 矩阵可逆的充要条件。 教学重点：行列式因子、不变因子的概念，二入一矩阵等价的充要条件。 教学方法：讲授法。 教学过程： 现在来证明，入一矩阵的标准形是唯一的。首先引入 定义5设元一矩阵4(2)的秩为r,1≤k≤”，A()中全部k阶子式的首项系数为1的最大公因 式D,()称为4()的k阶行列式因子。 定理3等价的入一矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。 证明：我们只需证明，入一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。 设一矩阵A)经过一次行初等变换变成B(),f()与g()分别是4()与B(2)的k阶行 列式因子。我们证明∫=g。下面分三种情形讨论： 1)A()→B()。这时，B()的每个k阶子式或者等于4()的某个k阶子式，或者与 4)的某个k阶子式反号，因此f()是B()的k阶子式的公因式，从而f(2)g()。 2)4()m©1→B()。B()的每个k阶子式或者等于A)的某个k阶子式，或者等于A() 的某个k阶子式的c倍。因此f(a)是B()的k阶子式的公因式，从而f)g()。 3)A()1B)。这时B()中那些包含1行与j行的k阶子式和那些不包含1行与/ 行的k阶子式都等于A()中对应的k阶子式：B()中那些包含i行但不包含j行的k阶子式，按1行作业: P355,习题 1 之 2），3）。. 预习: 下一节的基本概念. §3 不变因子 教学目标: 掌握行列式因子的概念与性质，不变因子的概念，二  —矩阵等价的充要条件，  — 矩阵可逆的充要条件。 教学重点: 行列式因子、不变因子的概念，二  —矩阵等价的充要条件。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 现在来证明，  —矩阵的标准形是唯一的。首先引入 定义 5 设  —矩阵 A( )  的秩为 r k r ,1  ，A( )  中全部 k 阶子式的首项系数为 1 的最大公因 式 ( ) Dk  称为 A( )  的 k 阶行列式因子。 定理 3 等价的  —矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。 证明： 我们只需证明，  —矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。 设  —矩阵 A( )  经过一次行初等变换变成 B( )  ，f ( )  与 g( )  分别是 A( )  与 B( )  的 k 阶行 列式因子。我们证明 f g = 。下面分三种情形讨论： 1） A( )  ⎯⎯⎯→[ , ] i j B( )  。这时， B( )  的每个 k 阶子式或者等于 A( )  的某个 k 阶子式，或者与 A( )  的某个 k 阶子式反号，因此 f ( )  是 B( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。 2） A( )  ⎯⎯⎯→ [ ( )] i c B( )  。B( )  的每个 k 阶子式或者等于 A( )  的某个 k 阶子式，或者等于 A( )  的某个 k 阶子式的 c 倍。因此 f ( )  是 B( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。 3） A( )  ⎯⎯⎯⎯→ [ ( )] i j +  B( )  。这时 B( )  中那些包含 i 行与 j 行的 k 阶子式和那些不包含 i 行与 j 行的 k 阶子式都等于 A( )  中对应的 k 阶子式； B( )  中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 阶子式，按 i 行