一种基于MCMC稳态模拟的贝叶斯索陪校正摸型 ·93· 引 言 保险费分为净保险费和附加保险费，其中，净保险费指承保风险赔款的支出，是保险公 司厘定保险费额的关键，厘定的费额过低，会造成保险公司亏损；费额过高，会造成市场竞 争力的削弱。设索赔频率为6，平均赔款额为P,则净保险费为P9。实践中，保险公司为了 处理承保过程中风险因素所不能消除的风险不均性状态，通常对具有不同风险级别的投保对 象厘定不同的保险费额，即：厘定某种形式的经验费率P9(i=1,…,n,代表不同的风险 组别)，使同种或同类风险的保费依赖于相关的经验赔付水平。 贝叶斯方法被应用于经验费率的厘定始于Buhlmann与Stranb所提出的经典Buhlmann 模型，并自此为经验贝叶斯信用方法(empirical Bayes credibility approach)奠定了基础。 如今，该方法仍然被广泛地应用于精算学的各个领域。传统Buhlmann模型中假设：索赔频 率日的估计值由索赔次数X:(G=1,…,k,代表不同的年份)决定，且X:服从参数为P 0,的Poisson分布。将0视为随机变量并利用公式0：=ZY:十(1一Z)4进行估计。其中Y, 为第i组的平均索赔额，4为0：先验分布U(·)的均值，Z∈[0,1)被称为可信性因子， 其确定采用完全信用的最佳(MSE意义下)线性经验贝叶斯估计。然而，该模型保持了简 单的线性公式和经验贝叶斯的特点，结构参数的估计依赖于现有的历史数据，在数据资料不 足特别是索赔额P,与索赔次数X,缺失的情况下很难得出结构参数的无偏后验估计。此外， 由于高维数值计算的困难，也使得贝叶斯方法的应用受到了极大的限制。随着计算机技术的 发展和贝叶斯方法的改进，特别是马尔可夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo,MC MC)模拟方法以及WinBUGS(Bayesian Inference Using Gibbs Sampling)软件的应用，原 先异常复杂的数值计算问题迎刃而解，参数后验分布的模拟也更为方便，现代贝叶斯理论及 其应用日趋成熟，许多学者开始尝试利用MCMC方法解决精算学中的有关问题。比如， Carlin将其运用到构建非标准精算时间序列的贝叶斯状态空间；Scollnik将其运用到保险厘 定联立方程模型的贝叶斯分析以及多层可信性模型的建模中；Makoⅴ等将其运用到损失理 赔准备金等模型；Pi将其用来分析保险索赔的复合模型等。 本文探讨了基于Gibbs抽样的MCMC理论，针对传统Buhlmann模型中对结构参数无 偏估计的不足，构建了一种索赔校正的贝叶斯多层Poisson模型，借助基于Gibbs抽样的 WinBUGS软件包进行仿真分析，得出了模型中索赔频率的后验分布以及相关缺失参数值的 后验估计，并证明了该模型的直观有效。 一、MCMC模拟方法 设k维随机向量U=(U,…,U)具有联合分布π(U1,,U),其中，U:为模型 参数或缺失的观测值，π(·)为其后验分布。则对于我们感兴趣的函数h(U)的数学期望为： E[h(U)]=∫Jh(u)π(u)du/(jπ(u)du) 由于该积分往往形式复杂难于计算，此时我们采用蒙特卡罗积分进行近似，即： E[h(U)]≈1h(U) n:1 当U1,…,U。相互独立时，由大数定律可知，样本容量n越大，其近似程度越高。但 在很多复杂模型中，并不能简单地对U1,…,U。做出相互独立的假设，这就需要使用MC 万方数据一种基于MCMC稳态模拟的贝叶斯索赔校正模型 ·93· 保险费分为净保险费和附加保险费，其中，净保险费指承保风险赔款的支出，是保险公 司厘定保险费额的关键，厘定的费额过低，会造成保险公司亏损；费额过高，会造成市场竞 争力的削弱。设索赔频率为曰，平均赔款额为P，则净保险费为P口。实践中，保险公司为了 处理承保过程中风险因素所不能消除的风险不均性状态，通常对具有不同风险级别的投保对 象厘定不同的保险费额，即：厘定某种形式的经验费率P良(i一1，…，，z，代表不同的风险 组别)，使同种或同类风险的保费依赖于相关的经验赔付水平。 贝叶斯方法被应用于经验费率的厘定始于Bnhlmann与Stranb所提出的经典Bnhlmann 模型，并自此为经验贝叶斯信用方法(empirical Bayes credibmty approach)奠定了基础。 如今，该方法仍然被广泛地应用于精算学的各个领域。传统Bnhlmann模型中假设：索赔频 率目的估计值由索赔次数x；f(J一1，…，尼，代表不同的年份)决定，且Xi朋艮从参数为P。i 曰，的Poisson分布。将臼视为随机变量并利用公式臼。一Z×+(1一z)口进行估计。其中K 为第i组的平均索赔额，口为曰i先验分布u(·)的均值，z∈[o，1)被称为可信性因子， 其确定采用完全信用的最佳(MsE意义下)线性经验贝叶斯估计。然而，该模型保持了简 单的线性公式和经验贝叶斯的特点，结构参数的估计依赖于现有的历史数据，在数据资料不 足特别是索赔额Pii与索赔次数X拍起失的情况下很难得出结构参数的无偏后验估计。此外， 由于高维数值计算的困难，也使得贝叶斯方法的应用受到了极大的限制。随着计算机技术的 发展和贝叶斯方法的改进，特别是马尔可夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo，MC— Mc)模拟方法以及winBUGS(Bayesian Inference Using Gibbs Sampling)软件的应用，原 先异常复杂的数值计算问题迎刃而解，参数后验分布的模拟也更为方便，现代贝叶斯理论及 其应用日趋成熟，许多学者开始尝试利用McMC方法解决精算学中的有关问题。比如， Carlin将其运用到构建非标准精算时间序列的贝叶斯状态空间；Scollnik将其运用到保险厘 定联立方程模型的贝叶斯分析以及多层可信性模型的建模中；Makov等将其运用到损失理 赔准备金等模型；Pai将其用来分析保险索赔的复合模型等。 本文探讨了基于Gibbs抽样的MCMC理论，针对传统Bnhlmann模型中对结构参数无 偏估计的不足，构建了一种索赔校正的贝叶斯多层Poisson模型，借助基于Gibbs抽样的 winBUGS软件包进行仿真分析，得出了模型中索赔频率的后验分布以及相关缺失参数值的 后验估计，并证明了该模型的直观有效。 一、MCMC模拟方法 设忌维随机向量U一(U，，…，队)具有联合分布丌(U。，…，U)，其中，U为模型 参数或缺失的观测值，丌(·)为其后验分布。则对于我们感兴趣的函数^(∽的数学期望为： E[矗(【，)]一，矗(乱)7f(“)矗M／(，7f(“)矗矗) 由于该积分往往形式复杂难于计算，此时我们采用蒙特卡罗积分进行近似，即： 1 ” E厂^(U)]≈土∑矗(U‘r’) n￡一1 当U，，…，巩相互独立时，由大数定律可知，样本容量靠越大，其近似程度越高。但 在很多复杂模型中，并不能简单地对u，，…，仉做出相互独立的假设，这就需要使用Mc— 万方数据