86* 智能系统学报 第4卷 其中：A,B∈R,x()∈R”是系统的状态，u()∈ 阵，H、P是表征控制器摄动的常数矩阵且pP<I R”是控制输入，w()∈R是外部扰动输入，△A、 △B为参数不确定性，满足范数有界条件.即： 2双目标非脆弱鲁棒控制器的设计 △A=E,∑F1,且满足∑<1其中E,、Σ、F,为具 将控制器3)代人系统(1)可得闭环系统的状 有适当维数的矩阵.对于系统(1)，定义二次型性能 态方程： 指标 x(=[(A+△A)+B2(F+△F)Jx()+ Jf(0Qx(0+(0Ru(0jd 2) Bw(t. (4) 定义11对复平面中的区域D,如果存在一 其中，Q、R是给定的对称正定加权矩阵 个对称矩阵L∈R和矩阵M1∈R,使得 所研究的问题是设计包含自身不确定性的非脆 D1=fs∈C:L+M1+M<05,(5) 弱状态反馈控制器： 则称D是一个线性矩阵不等式区域简称MI区 u()=(F+△F)x() 3) 域).复平面上半径为x中心在(-40)的圆盘是个 其中：F为名义控制增益，△F控制增益扰动不 确定性 M区域，记作：D,(rq 引理1考虑系统1)，若存在非脆弱控制 使不确定系统1)式满足如下两种性能指标： 器(3)使得闭环系统(4)的极点在给定的圆盘 )闭环系统的极点在规定的区域内： D,(xq内部，当且仅当存在对称矩阵X和矩阵 2对于给定的一个正数J°，闭环系统的二次型 Y,常数e1>0,e2>0,使得下列不等式成立 性能指标J<J.其中△F=HPE,E是适当维数的矩 E1 Er-X (A +gDX +B2Y E2B2H 0 X (A +gT +YiB: X XF 0 XET 0 0 -EI 0 <0 (6) E2H'B: FX 0 0 0 EXT 0 0 -e21 则系统(1)的非脆弱控制器u()=(F+△F)x() 引理2)对于系统1)和非脆弱控制器(3)， 存在且名义控制器增益F=YX 使得二次型性能指标J<J广，当且仅当存在正常数 证明由文献[8中的定理且令△B=0时，便 ,、e,和对称正定矩阵X2、矩阵Y,使下列不等式 可容易地得到此引理，其详细的证明过程略 成立 Π X2FL XET X2 FXI -EI 0 0 0 EXi 0 -EI 0 0 <0. (7) X 0 -Q 0 Y 0 -R 则非脆弱控制器u()=(F+△F)x()的名义控制 定理1对于系统1)，若存在非脆弱性控制 器增益F=YX,且二次型性能指标上界J= 器(3)满足性能指标1)、2)当且仅当存在对称正定 trace(X人.其中：Π=(AX2+B2Y,)+(AX2+ 矩阵X和矩阵Y以及正常数e,i=1,2,3,4,使得下 B2 Y)T+E EI +aBE ETB2. 列不等式存在 E E-X (A +qlX +B2 Y 0 E2B,H 0 X (A +gT+YB: ·X XFI XE 0 0 -E1I 0 <0. (8) e2HB: FX 0 -82I 0 0 EX 0 0 -e,1 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net其中 : A, B ∈R n ×n , x ( t) ∈R n 是系统的状态 , u ( t) ∈ R m 是控制输入 , w ( t) ∈R q 是外部扰动输入 , △A、 △B 为参数不确定性 , 满足范数有界 条件. 即 : △A = E1ΣF1 ,且满足 ΣTΣ < I,其中 E1、Σ、F1 为具 有适当维数的矩阵. 对于系统 ( 1) ,定义二次型性能 指标 : J = ∫ ∞ 0 [ x T ( t) Q x ( t) + u T ( t) Ru ( t) ]dt. (2) 其中 , Q、R是给定的对称正定加权矩阵. 所研究的问题是设计包含自身不确定性的非脆 弱状态反馈控制器 : u ( t) = ( F + △F ) x ( t). (3) 其 中 : F为名义控制增益 , △F控制增益扰动不 确定性. 使不确定系统 (1)式满足如下两种性能指标 : 1)闭环系统的极点在规定的区域内. 2)对于给定的一个正数 J 3 ,闭环系统的二次型 性能指标 J <J 3 . 其中 △F =H PE, E是适当维数的矩 阵, H、P是表征控制器摄动的常数矩阵且 P T P < I. 2 双目标非脆弱鲁棒控制器的设计 将控制器 (3)代人系统 ( 1)可得闭环系统的状 态方程 : xÛ( t) = [ (A + △A ) +B2 ( F + △F ) ]x ( t) + B1w ( t). (4) 定义 1 [ 7 ] 对复平面中的区域 D1 ,如果存在一 个对称矩阵 L ∈R m ×m和矩阵 M 1 ∈R m ×m ,使得 D1 = { s ∈ C: L + sM 1 + €sM T 1 < 0}, (5) 则称 D 是一个线性矩阵不等式区域 (简称 LM I区 域 ). 复平面上半径为 r,中心在 ( - q, 0)的圆盘是个 LM I区域 ,记作 : D1 ( r, q). 引理 1 考虑系统 ( 1 ) , 若存在非脆弱控制 器 (3)使得闭环系统 ( 4 ) 的极点在给定的圆盘 D1 ( r, q)内部 , 当且仅当存在对称矩阵 X1 和矩阵 Y1 ,常数 ε1 > 0,ε2 > 0,使得下列不等式成立. ε1 E1 E T 1 - rX1 (A + qI) X1 +B2 Y1 0 ε2B2 H 0 X1 (A + qI) T + Y T 1B T 2 - rX1 X1 F T 1 0 X1 E T 0 0 - ε1 I 0 0 ε2 H T B T 2 FX1 0 - ε2 I 0 0 EX T 1 0 0 - ε2 I < 0, (6) 则系统 (1)的非脆弱控制器 u ( t) = ( F + △F ) x ( t) 存在且名义控制器增益 F = Y1 X - 1 1 . 证明 由文献 [ 8 ]中的定理且令 △B = 0时 ,便 可容易地得到此引理 ,其详细的证明过程略. 引理 2 [ 9 ] 对于系统 ( 1)和非脆弱控制器 ( 3) , 使得二次型性能指标 J < J 3 ,当且仅当存在正常数 ε3、ε4 和对称正定矩阵 X2、矩阵 Y2 ,使下列不等式 成立. ∏ X2 F1 X2 E T X2 Y T 2 F T 1 X T 2 - ε3 I 0 0 0 EX T 2 0 - ε4 I 0 0 X T 2 0 0 - Q - 1 0 Y2 0 0 0 - R - 1 < 0, (7) 则非脆弱控制器 u ( t) = ( F + △F ) x ( t)的名义控制 器增益 F = Y2 X - 1 2 , 且二次型性能指标上界 J 3 = trace ( X - 1 2 ). 其中 : ∏ = (AX2 + B2 Y2 ) + (AX2 + B2 Y2 ) T +ε3 E1 E T 1 +ε4B E1 E T 1B T 2 . 定理 1 对于系统 ( 1) ,若存在非脆弱性控制 器 (3)满足性能指标 1) 、2)当且仅当存在对称正定 矩阵 X和矩阵 Y以及正常数εi , i = 1, 2, 3, 4,使得下 列不等式存在. ε1 E1 E T 1 - rX (A + qI) X +B2 Y 0 ε2B2 H 0 X (A + qI) T + Y T B T 2 - rX XF T 1 0 XE T 0 0 - ε1 I 0 0 ε2 H T B T 2 FX 0 - ε2 I 0 0 EX T 0 0 - ε2 I < 0, (8) ·86· 智 能 系 统 学 报 第 4卷