Sturm- Liouville型方程的本征偵间题看分不变量法 第10页 825.4从 Stur- Liouville方程的本征值问题看来离论量但 仍以弦的横将动问题为例 对于两下固定弦的自由将动,定解问题是 <x<l.t>0 t>0; l=0=o(x) =v(x),0<x<l 根据25.1节和25.2节的讨论可知,如果存在一个SL方程的本征值 LX X X(0)=0,X() 那么,由于它的边界条件和定解问题的边界条件形式完全相同,因此,可以将定解问题的解u(x,t) 按照本征函数的全体{Xn(x),n=1,2,3,…}(为方任起见,假设本征函数均已归一化)展开 u=∑r(xa 这里,本征函数组的完备性起了决定性的作用。为了保证∑Tn(1)Xn(x)能够收敛 種少是平均收到解u(x,这里的求和须通及u部本征函数,绝不可以无理由 摈弃若干个本征函数 否则,尽管在形式上似乎仍能求到一个级数“解”,但它绝不可能收敛到真正的解a(x,t) 将解式代入方程,有 Tm()Xm(r)-a2>Tm(t)X m()=0 T=1 用xn(x)乘上式两下,然后在区间[0.上积分,就得到 Tm(1)-a2∑(xn,xm)Tm()=0.m=1,2,3 再将初始条件也按这一组本征函数展开,得到 Tn(0)=(Xn,),Tn(0)=(Xn,) 如果能够求出Tn(t),代回到解式中,当然就求出了定解问题的解a(x,t) 这里要求解的是关于术知函数{(,n=1.2.3,…}的常微分方程组,一般说来,这 还是比较困难的 弄清楚了齐次边界条件在分离变也可中的决定性作用后,非齐次方程的情形就迎型而解了Wu Chong-shi §25.4 ➓ Sturm–Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q➔→➣↔↕➙ r 10 s §25.4 ➛ Sturm–Liouville ✽✾✿✙✚✛✜✢✣➜➝➞➟➠➡ ð ●➢ ✲➤➥➦➼➽★✉❉ ✹✺✾ ③ ➧✩ ➢ ✲ ❢ â ➥➦✷✩ì➼➽❅ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0; u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t > 0; u   t=0 = φ(x), ∂u ∂t    t=0 = ψ(x), 0 < x < l. P➂ 25.1 ✖✧ 25.2 ✖✲➞➟➊➅✷❯❱Þ✫✬✿ S–L ➉➵✲➸➺➻➼➽ LX = λρX, X(0) = 0, X(l) = 0, ➨ ✈✷ â ✺❡✲▲▼◆❖✧✩ì➼➽✲▲▼◆❖➫➭✈✇①②✷❚➌✷➊ ● ➥✩ì➼➽✲ì u(x, t) ✂➩➸➺✭✮✲✇ý {Xn(x), n = 1, 2, 3, · · ·} (★➉✼⑧✪✷ ❛ ✦➸➺✭✮✁ ➬☛✬☞) ✄☎✷ u(x, t) = X∞ n=1 Tn(t)Xn(x). ➾➚✷➸➺✭✮￾✲✈ÿ④⑧❐➫✩④✲➆ ✘ ❉★❐➭❩ P∞ n=1 Tn(t)Xn(x) ↔ ❾✝✞ (➃➄❅➈✁ ✝✞) ê ì u(x, t) ✷ ➾➚✲❹✧Ü➇➯❄ ➲➳ ➸➺✭✮❉→➣➊ ● ➇❭ â ➵➸➺✸➻ ✿ ➸➺✭✮❉ ➼❃ ✷ ➽➾✫➫➭❼➚➪ð ↔ ❹ ê ✬ ✿ ✟✮ ➶ì➹✷➡❡→➣➊ ↔ ✝✞ê➘ å✲ì u(x, t) ❉ ➥ì➭➴➷➉➵✷❁ X∞ m=1 T 00 m(t)Xm(x) − a 2 X∞ m=1 Tm(t)X 00 m(x) = 0. ✘ X∗ n (x) í❼➭✾ ③✷Ý⑦✫❻✰ [0, l] ❼➋✴✷❞äê T 00 n (t) − a 2 X∞ m=1 (Xn, X00 m)Tm(t) = 0, m = 1, 2, 3, · · · . ➬ ➥➮➱◆❖❲✂ ➾ ✬￾➸➺✭✮✄☎✷äê Tn(0) = (Xn, φ), T 0 n (0) = (Xn, ψ). ❯❱↔ ❾❹➘ Tn(t) ✷➴ ✃ê ì➭ ❘✷❍Ý❞❹➘❐✩ì➼➽✲ì u(x, t) ❉ ➾➚❸❹ì✲❅✗✺✸➅✭✮ {Tn(t), n = 1, 2, 3, · · ·} ✲⑩✳✴➉➵￾❉✬➩✳ ➝✷➾ ➒❅ ➃➄❐❒✲❉ ❮❰Ï❐➴➷▲▼◆❖✫✴➙ ❱❲➊ ❘✲➫✩④➆ ✘ ⑦✷ î ➴➷➉➵✲✦➫❞ÐÑ➤ì❐❉