数学分析方法论选讲 第一讲整体与部分3 姚正安 §1.3重极限和路径极限 本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径 极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及 上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言 趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多 问题131海涅(Heme)定理:lmf(x,y)存在的充要条件是对任给的点列 {Pn}mP=P=(xo,y),Pn≠Pn{Pn}落在f(x,y)的定义域内且mf(P)存在 证明本问题的证明与问题124的证明完全类似证明留给读者 在多就是函数中所谓的方向极限即沿某一方向取极限所谓的路径极限即是沿某 路径取极限. 问题1.32重极限存在,则任两条路径极限存在且相等. 分析:所谓的路径极限即是某曲线C落在∫(x,y)的定义域中,且此曲线C过点 (x0,y),当(xy)∈C,取(x,y)→(x02y)时f(x,y)的极限 证明:设 imf(x,y)=A,则对任给的E>0,存在δ>0,当 y→0 0<|x-x<60<y-y|<6且(xy)落在f(xy)的定义域中时有(xy)-4<E 由路径C过点(xn,y),且(x,y)∈C,(x,y)→(x0,y),从而 0<x-x<00<y-y0<6时,有 <E 于是有,mf(x,y)=A 方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时, 落在定义域的方向极限一定存在,反之不一定正确,我们也常用问题1.3.1的逆否命题 来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧。数学分析方法论选讲 第一讲 整体与部分 3 姚正安 § 1.3 重极限和路径极限 本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径 极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及 上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言 趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多. 问 题 1.3.1 海涅 (Heine) 定 理 : f (x y) y y x x lim , 0 0 → → 存 在 的充 要条 件是 对任 给 的点 列 Pn , ( ) 0 0 0 lim P P x , y n n = = → , Pn  P0 ,Pn  落在 f (x, y) 的定义域内且 ( ) n n f P → lim 存在. 证明:本问题的证明与问题 1.2.4 的证明完全类似,证明留给读者． 在多就是函数中,所谓的方向极限即沿某一方向取极限.所谓的路径极限即是沿某一 路径取极限． 问题 1.3.2 重极限存在，则任两条路径极限存在且相等. 分析: 所谓的路径极限即是某曲线 C 落在 f (x, y) 的定义域中,且此曲线 C 过点 ( ) 0 0 x , y ,当 (x, y)C ,取 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 时 f (x, y) 的极限. 证明:设 f (x y) A y y x x = → → lim , 0 0 , 则对任给的   0 , 存 在   0 , 当 0  x − x0   ,0  y − y0   且 (x, y) 落在 f (x, y) 的定义域中时,有 f (x, y)− A   . 由路径 C 过 点 ( ) 0 0 x , y , 且 (x, y)C , ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y , 从而当 0  x − x0   ,0  y − y0   时,有 f (x, y)− A   , 于是有 ( ) ( ) ( ) f (x y) A x y C x y x y =  → lim , , 0 0 , , . 方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时, 落在定义域的方向极限一定存在，反之不一定正确，我们也常用问题 1.3.1 的逆否命题 来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧