数学分析方法论选讲 问题133(1)证明当(x,y)→>(00)时,函数xy的方向极限存在但重极限不存 (2)lm_x不存在,但沿任意方向,方向极限为0 【证明】(1)设通过原点的方向为6,则方向极限为 co p(cos Bo +sin Bo) 我们看到x+y=0不在定义域内,但如某点无限靠近x+y=0,则一可充分大 x+ y 我们用扰动方法,取C:y=-x+x3,则 xy=lim x+y 不存在 由问题132,知lm-x不存在 (2)取C1:y=0,则 取C2:y=x2,则 r,y)EC2 由问题132知m、+1 不存在,但对任给的方向b:x=pcos日,y=psn 方向极限为:数学分析方法论选讲 问题 1.3.3 （1） 证明当 （x, y) → (0,0) 时，函数 x y xy + 的方向极限存在但重极限不存 在； （2） 4 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 不存在，但沿任意方向，方向极限为 0。 【证明】（1）设通过原点的方向为  0 ，则方向极限为 0 (cos sin ) cos sin lim lim 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 2 0 = + = +  = = → → → x y x y y x y x            , 我们看到 x + y = 0 不在定义域内，但如某点无限靠近 x + y = 0 ，则 x y xy + 可充分大， 我们用扰动方法，取 : , 3 C y = −x + x 则 3 3 0 ( , ) 0 0 ( ) lim lim x x x x x y xy x x y C y x − + = + →  → → 不存在。 由问题 1.3.2，知 x y xy y x + → → 0 0 lim 不存在。 （2）取 C1 : y = 0 ，则 0 0 lim lim 4 0 4 2 2 ( , ) 0 0 1 = = + →  → → x y x x y x x y C y x 。 取 2 2 C : y = x ，则 2 1 2 lim lim 4 4 0 4 2 2 ( , ) 2 0 0 = = + →  → → x x x y x y x x y C y x 。 由问题 1.3.2 知 4 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 不存在，但对任给的方向 0 0 0  : x =  cos , y =  sin  ， 方向极限为：