2009年第6期 数学奥林匹克问题 1 1 本期问题 a(a+b)+c(cta 初251设四位数w=abcd是完全平方 (宋庆南昌大学附中，330047) 数，把它从中间划开，得到两个两位数1= 上期问题解答 ab与片=cd;w1=3x1片+1是完全平方数 把W2从中间划开，得到两个两位数2、为 初249如图3， m,=22为是完全平方数，把W5从中间划 AB是⊙0的直径，C 开，得到两个两位数片；w:=为+1是 是B的中点，M是 完全平方数，的9倍是四位数W,也是 AC的中点，CH⊥BM 于H.求证 完全平方数.求四位数w,(1=12,3,4,5) 图3 (田永海黑龙江省绥化市教育学院 OH=AH 152054) 证明：易知AC=BC,4C⊥BC, 初252如图1，△4BC的内切圆切边 ∠C4B=∠CB4=45 BC于点D,AD交内切 又CH⊥BM,则△CMH∽△BMC 圆于另一点E,过E作 因此，C=MHMB 该圆的切线分别交AB 注意到A=C,则A=MHB AC于点F、G.求证 所以，△MMH∽△BMA +在 故∠AHM=∠BAM=45 ① 联结OM. 易知OM∥BC,OM⊥AC 所以.∠AOM=∠ABC=45 (袁安全重庆市合川太和中学401555) ② 高251如图 由式①.②得∠AOM=∠AHM 2,凸四边形ABCD 因此，A、O、H、M四点共圆 于是，∠AHD=∠AMO=90 外切于⊙0.两组 对边所在的直线分 ∠OAH=∠OMH=∠MBC 所以，RH△4OH∽R△BMC 别交于点E、F,对 角线交于点G.求 从而胎兴过 证：OG⊥EF 图2 (沈毅重庆市合川太和中学，401555) 故OH=2AH 高252已知a、b、c为满足akc=1的正 (吕建恒陕西省兴平市教研室，713100) 实数.求证 初250在△4BC中，AB>AC,点E在 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne数 学 奥 林 匹 克 问 题 本 期 问 题 初 251 设四位数 w1 = abcd是完全平方 数 ,把它从中间划开 ,得到两个两位数 x1 = ab与 y1 = cd ; w2 = 3 x1 y1 + 1 是完全平方数 , 把 w2 从中间划开 ,得到两个两位数 x2 、y2 ; w3 = 2 x2 y2 是完全平方数 ,把 w3 从中间划 开 ,得到两个两位数 x3 、y3 ; w4 = x3 y3 + 1 是 完全平方数 ,w4 的 9 倍是四位数 w5 ,w5 也是 完全平方数. 求四位数 wi ( i = 1 ,2 ,3 ,4 ,5) . (田永海 黑龙江省绥化市教育学院 , 152054) 初 252 如图 1 , △ABC 的内切圆切边 图 1 BC 于点 D , AD 交内切 圆于另一点 E ,过 E 作 该圆的切线分别交 AB 、 AC 于点 F、G. 求证 : 1 AB + 1 AF = 1 AC + 1 AG . (袁安全 重庆市合川太和中学 ,401555) 图 2 高 251 如图 2 ,凸四边形 ABCD 外切于 ⊙O , 两组 对边所在的直线分 别交于点 E、F ,对 角线交于点 G. 求 证 : OG ⊥EF. (沈 毅 重庆市合川太和中学 ,401555) 高 252 已知 a、b、c 为满足 abc = 1 的正 实数. 求证 : 1 a ( a + b) + 1 b ( b + c) + 1 c ( c + a) ≥3 2 . (宋 庆 南昌大学附中 ,330047) 上 期 问 题 解 答 图 3 初 249 如图 3 , AB 是 ⊙O 的直径 , C 是AB 的 中 点 , M 是 AC 的中点 , CH ⊥BM 于 H. 求证 : OH = 1 2 AH. 证明 :易知 AC = BC ,AC ⊥BC , ∠CAB = ∠CBA = 45°. 又 CH ⊥BM ,则 △CMH ∽ △BMC. 因此 , CM 2 = MH·MB . 注意到 AM 2 = CM 2 ,则 AM 2 = MH·MB . 所以 , △AMH ∽ △BMA. 故 ∠AHM = ∠BAM = 45°. ① 联结 OM. 易知 OM ∥BC , OM ⊥AC. 所以 , ∠AOM = ∠ABC = 45°. ② 由式 ①、②得 ∠AOM = ∠AHM. 因此 ,A 、O、H、M 四点共圆. 于是 , ∠AHO = ∠AMO = 90°, ∠OAH = ∠OMH = ∠MBC. 所以 ,Rt △AOH ∽ Rt △BMC. 从而 , OH AH = CM BC = 1 2 . 故 OH = 1 2 AH. (吕建恒 陕西省兴平市教研室 ,713100) 初 250 在 △ABC 中 , AB > AC ,点 E 在 2009 年第 6 期 45