46 中等数学 边4B上，且AE=4B,4C,过E作边AB的 则2≤3 垂线与边BC的垂直平分线交于点F,求证 点F到直线AB、4C的距离相等。 下面证明：当0<1≤子时，式①成立 证明：如图4，延长C4到点K,在BE上 首先证明：当xy>0,r=y(0<r≤ 取一点G,使 K 2)时， 得EG=EA= 1 ② 4B:4C(此 +x++ 令1=1+x+y.则 时，AG=AB. AC<AB,点GB 1=+x+y+罗 确实在线段 ≥1+2y+xy=1+r BE上).则 图4 式② BG=AB-AG 1+)(2+x+y+21+x+y) =AB-(AB-AC)=AC ≤4(1+x)(1+y) 另外，由RI△FEG≌R△FEA得 气1+)(1+7.2+2)≤47 FG=FA. 气r-3)7+2+2t-(r+1)(2:）司 又点F在边BC的垂直平分线上，则 BF=FC.∠BC=∠FOB 气-+w 所以，△BFG≌△CFA. ③ 故∠FBG=∠FCA,即∠FBA=∠FC 由0<，分≤+1 于是，F、B、C、A四点共圆.从而 ∠EAK=∠FBC=∠FCB=∠EAB 而1+11+，≥ 即A是△4BC的外角平分线」 0及r-3<0知式③显然成立，故式②成立 因此，点F到直线AB、AC的距离相等. 不妨设x≤y≤.由g=P,有 (吴伟朝广州大学数学与信息科学学 :≥A0<y≤ 院，510006) 高249求使不等式 <≤1年<2 应用式②并注意到：一号有 对满足=P的任意正实数xy、:恒成立 1 的正实数入的取值范围 解：在式①中，令x=y=1,=十 h+y 当10时，有 于是，要证式①，只要证 ++++年园 ④ 令+y=.则 1994-2009 China Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net 边AB 上 ,且 AE = AB - AC 2 ,过 E 作边 AB 的 垂线与边 BC 的垂直平分线交于点 F. 求证 : 点 F 到直线AB 、AC 的距离相等. 证明 :如图 4 ,延长 CA 到点 K ,在 B E 上 图 4 取一点 G, 使 得 EG = EA = AB - AC 2 ( 此 时 ,AG = AB - AC < AB ,点 G 确 实 在 线 段 B E 上) . 则 BG = AB - AG = AB - ( AB - AC) = AC. 另外 ,由 Rt △FEG ≌Rt △FEA 得 FG = FA. 又点 F 在边 BC 的垂直平分线上 ,则 B F = FC , ∠FBC = ∠FCB . 所以 , △B FG ≌△CFA. 故 ∠FBG = ∠FCA ,即 ∠FBA = ∠FCA. 于是 , F、B 、C、A 四点共圆. 从而 , ∠FAK = ∠FBC = ∠FCB = ∠FAB , 即 FA 是 △ABC 的外角平分线. 因此 ,点 F 到直线 AB 、AC 的距离相等. (吴伟朝 广州大学数学与信息科学学 院 ,510006) 高 249 求使不等式 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z ≤ 3 1 +λ ① 对满足 xyz =λ3 的任意正实数 x、y、z 恒成立 的正实数λ的取值范围. 解 :在式 ①中 ,令 x = y = t ,z = 1 t 2 . 当 t →0 时 ,有 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z = 2 1 + t + t t 2 + 1 →2. 则 2 ≤ 3 1 +λ Ζ0 <λ≤5 4 . 下面证明 :当 0 <λ≤5 4 时 ,式 ①成立. 首先证明 :当 x、y > 0 , r = xy (0 < r ≤ 2) 时 , 1 1 + x + 1 1 + y ≤ 2 1 + r . ② 令 t = 1 + x· 1 + y . 则 t = 1 + x + y + xy ≥ 1 + 2 xy + xy = 1 + r. 式 ② Ζ (1 + r) (2 + x + y + 2 1 + x· 1 + y) ≤4 (1 + x) (1 + y) Ζ (1 + r) (1 + t 2 - r 2 + 2 t) ≤4 t 2 Ζ (r - 3) t 2 + (2 +2r) t - (r +1) (r 2 - 1) ≤0 Ζ ( r - 3) [ t - ( r + 1) ] t - r 2 - 1 3 - r ≤0. ③ 由 0 < r ≤2 ] r 2 - 1 3 - r ≤r + 1. 而 t ≥r + 1 ] t - ( r + 1) ≥0 , t - r 2 - 1 3 - r ≥ 0 及 r - 3 < 0 知式 ③显然成立 ,故式 ②成立. 不妨设 x ≤y ≤z. 由 xyz =λ3 ,有 z ≥λ] 0 < xy ≤λ2 Ζ0 < xy ≤λ≤5 4 < 2. 应用式 ②并注意到 z = λ3 xy 有 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z ≤ 2 1 + xy + 1 1 + λ3 xy . 于是 ,要证式 ①,只要证 2 1 + xy + xy xy +λ3 ≤ 3 1 +λ . ④ 令 1 + xy = u. 则 46 中 等 数 学