2009年第6期 47 1<u≤+，y=(.1) 故式④ (①∑A房∑阳商向 21 ⑤ (2)∑与|∑s均为定值，且 由柯西不等式有 |2计2计 [(-)2+](1+).1+ 解：以0为坐标原点，04.所在直线为 侣 轴建立直角坐标系 不失一般性，设04,1=1.则 因此，要证式⑤识要证 + 4m2识n294=12,“, +元 ⊙0的方程为x2+,2=(R>0), 2+(.1+)+1+)u(2-1) PCx vo) u(2.1+) 于是，后+乃=R 件.2》+2+1.6R+A.2)u+ 注意到Hs2亚.n2亚.对 2(P.1)+i0 片A.2)(w-1+1)2 则∑m [2u可 -2gm,n29.明 由0<1子有 又s24=2n29=0则 2.D+2 ,4. 2m2(m, -2 1=-2 =n(-0,b) 20.Dis -2 直线A41的方程为 而>1则+2>0 x-ms2[sn2+D匹.n2 又(u-1+1)20,.2<0,故式⑥ -2明[2业.s2 成立 从而，式①成立 即2as2L+sn x-cos2 因此，所求A的取值范围为0， (蒋明斌四川省蓬安中学，637851) c0s 2+1 高250称圆心在正多边形的中心的圆 故x0s2 n 为正多边形的“中心圆”.设⊙0是正n边形 A1A:A.的中心圆，P为⊙0上任一点，P 在A41(i=1,2,…,n,A1=A1)上的射影 即ms21+)n2业.s-0 n n 为B.求证 ② 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne1 < u ≤ 1 +λ, xy = ( u 2 - 1) 2 . 故式 ④ Ζ 2 u + u 2 - 1 ( u 2 - 1) 2 +λ3 ≤ 3 1 +λ . ⑤ 由柯西不等式有 [ ( u 2 - 1) 2 +λ3 ] (1 +λ) ≥( u 2 - 1 +λ2 ) 2 ] 1 ( u 2 - 1) 2 +λ3 ≤ 1 +λ u 2 - 1 +λ2 . 因此 ,要证式 ⑤只要证 2 u + 1 +λ( u 2 - 1) u 2 - 1 +λ2 ≤ 3 1 +λ Ζ2 1 +λ( u 2 - 1 +λ2 ) + (1 +λ) u ( u 2 - 1) ≤3 u ( u 2 - 1 +λ2 ) Ζ(λ- 2) u 3 +2 λ+1 u 2 - (3λ2 +λ- 2) u + 2 (λ2 - 1) λ+ 1 ≤0 Ζ (λ- 2) ( u - λ+ 1) 2· u + 2 (λ- 1) λ+ 1 λ- 2 ≤0. ⑥ 由 0 <λ≤5 4 有 2(λ- 1) λ+1 λ- 2 2 - 1 = 4λ2 λ- 5 4 (λ- 2) 2 ≤0 Ζ 2 (λ- 1) λ+ 1 λ- 2 ≤1. 而 u > 1 ,则 u + 2 (λ- 1) λ- 2 λ+ 1 > 0. 又( u - λ+ 1) 2 ≥0 ,λ- 2 < 0 ,故式 ⑥ 成立. 从而 ,式 ①成立. 因此 ,所求λ的取值范围为 0 , 5 4 . (蒋明斌 四川省蓬安中学 ,637851) 高 250 称圆心在正多边形的中心的圆 为正多边形的“中心圆”. 设 ⊙O 是正 n 边形 A1 A2 …An 的中心圆 , P 为 ⊙O 上任一点 , P 在 AiAi + 1 ( i = 1 ,2 , …, n ,An + 1 = A1 ) 上的射影 为 Bi . 求证 : (1) ∑ n i = 1 PAi与 ∑ n i = 1 PBi同向 ; (2) ∑ n i = 1 PAi 与 ∑ n i = 1 PBi 均为定值 ,且 ∑ n i = 1 PBi = 1 2 ∑ n i = 1 PAi . 解 :以 O 为坐标原点 , OAn 所在直线为 x 轴建立直角坐标系. 不失一般性 ,设| OAn | = 1. 则 Ai cos 2 iπ n ,sin 2 iπ n ( i = 1 ,2 , …, n) , ⊙O 的方程为 x 2 + y 2 = R 2 ( R > 0) , P( x0 , y0 ) . 于是 , x 2 0 + y 2 0 = R 2 . 注意到 PAi = cos 2iπ n - x0 ,sin 2iπ n - y0 . 则 ∑ n i = 1 PAi = ∑ n i = 1 cos 2 iπ n - nx0 , ∑ n i = 1 sin 2 iπ n - ny0 . 又 ∑ n i = 1 cos 2 iπ n = ∑ n i = 1 sin 2 iπ n = 0 ,则 ∑ n i = 1 PAi = ( - nx0 , - ny0 ) = n ( - x0 , - y0 ) . ① 直线 AiAi + 1的方程为 x - cos 2 iπ n sin 2 ( i + 1)π n - sin 2 iπ n = y - sin 2iπ n cos 2(i +1)π n - cos 2iπ n , 即 2cos (2 i + 1)π n ·sin π n x - cos 2 iπ n = - 2sin (2 i + 1)π n . sin π n y - sin 2 iπ n . 故 x - cos 2 iπ n cos (2 i + 1)π n = - y - sin 2 iπ n sin (2 i + 1)π n , 即 xcos (2i +1)π n + ysin (2i +1)π n - cos π n =0. ② 2009 年第 6 期 47