(2)已知数域F上的n维向量a,a2,a线性无关,记B1=01+a2,.B2=2+a3,B3=a3+a, 试证β1,β2,B3也线性无关 证(1)因nxn矩阵A的秩小于n-1,所以A的任一n-1阶子式都为零,而A的伴 随矩阵A'的每一元素都是A的n-1阶子式(最多差一正负号),所以A=0,从而 rank(A0 (2)设有系数kk,k∈F,使 kiBI+k2 B2+k3B3=0 即ki(a1+a2)+k2(a2+a3)+ks(a+a1)=0 或(k+k)a1+(k+k2)a2+(k+k)a=0 由已知a,a2,G3线性无关,得 k1+k3=0 k1+k2=0 k2+k=0 解得k=kx2=k3=0,所以β1,B2,β3也线性无关 八、(14分,每小题7分)分析题 (1)考察数集S={a+bvab∈Q}是否能构成一个数域,并说明理由.其中Q表 示有理数域. (2)判别下面矩阵A是不是正定的,并说明理由 A120 101. 解:(1)显然0,1∈S, 设a+bv2,a+b2eS,则a+bV2)+a+bN2)eS n)(a2b2)∈S,(an+b2)×(a2+bV 当(a2+b)≠0时,(a1+b2)÷(a+bV)∈S, 所以S能构成一个数域 (2)因为2>0,2,A=120=4+0+0-20-1=1>0 10 所以A是正定矩阵 第3页共3页第 3 页 共 3 页 （2）已知数域 F 上的 n 维向量α1, α2, α3线性无关，记β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α1, 试证β1, β2, β3也线性无关． 证（1）因 nn 矩阵 A 的秩小于 n-1，所以 A 的任一 n-1 阶子式都为零，而 A 的伴 随矩阵 A*的每一元素都是 A 的 n-1 阶子式（最多差一正负号），所以 A*=0，从而 rank(A*)=0 (2)设有系数 k1,k2, k3F, 使 k1β1+k2 β2+k3β3=0 即 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0 或(k1+k3)α1+( k1+ k2) α2+( k2+k3)α3=0 由已知α1, α2, α3线性无关，得 k1+k3=0 k1+ k2=0 k2+k3=0 解得 k1=k2=k3=0，所以β1, β2, β3也线性无关． 八、（14 分，每小题 7 分）分析题 （1） 考察数集 S={a+b 2 |a,bQ}是否能构成一个数域，并说明理由．其中 Q 表 示有理数域． （2） 判别下面矩阵 A 是不是正定的，并说明理由． A= 2 1 -1 1 2 0 -1 0 1 解：（1）显然 0，1S， 设 a1+ b1 2 ，a2+ b2 2 S，则(a1+ b1 2 )+(a2+ b2 2 )S， (a1- b1 2 )-(a2-b2 2 )S，(a1+ b1 2 )×(a2+ b2 2 )S， 当(a2+ b2 2 )≠0 时，(a1+ b1 2 )÷(a2+ b2 2 )S， 所以 S 能构成一个数域． （2）因为 2>0，|2 1 1 2 | >0，A= | 2 1 -1 1 2 0 -1 0 1 | =4+0+0-2-0-1=1>0 所以 A 是正定矩阵．