1-21 1-212 方程组无解. (4分) 四、(12分)已知向量组β=(1,1,0.-1),B2=(1,2,3,4),β3=(1,2,1,1),β4=(2,4,2,2),试求 它们的生成子空间span(β1,B2,B3,B4)的维数和一个基 031 031 00-2-4 (6分) -141 由于向量组β1,2,B3,B4的秩为3,所以生成子空间span(B1,B2,β3,B4)的维数为3 且等价的阶梯形矩阵前3行的1,2,3列构成的3阶子式不为0,所以span(B1,β2, β3,B4)的一个基为β,B2,B3 分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 1+2x2+3x3+4x4=5 3x2+2x3+3x=4 解增广矩阵为 2345 323 05/327/3 012/314/3 分 00000 对应的同解方程为 1+5/3x3+2x4=7/3 x+2/3x+x=4/3 (2分) 令x3=c1,x4=c2得 X2 (6分) 六、(12分)试用配方法寻求可逆线性变换X=CY,把下面二次型化为标准形 f(x1,x2,x3)=x12+4x1x22x1x+2x2-4x2x-X 解f=(x1-2x2+x3)2+6x2-8x2x=(x1-2x2+x3)2+6(x22/3x)2-8/9 (6分) 1=x1-2x2+x3 1=y1+2y2+1/3y 令{y2=x22/3x3即k2=y2+2/3 (4分) y3=X3 得f=y12+6y2-8/9y32 (2分) 七、(14分,每小题7分)证明题 (1)已知n×n矩阵A的秩小于n-1,A·表示A的伴随矩阵,试证A的秩rank(A)=0 第2页共3页第 2 页 共 3 页 B= -2 1 1 1 1 -2 1 -2 1 1 -2 (-2) 2 ~ -2 1 1 1 1 -2 1 -2 1 1 -2 4 ~ -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 0 0 3 方程组无解． （4 分） 四、（12 分）已知向量组β1=(1,1,0,-1), β2=(1,2,3,4)，β3=(1,2,1,1)，β4=(2,4,2,2)，试求 它们的生成子空间 span(β1, β2, β3, β4)的维数和一个基． 解 1 1 1 2 1 2 2 4 0 3 1 2 -1 4 1 2 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 2 0 5 2 4 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 -2 -4 0 0 0 0 （6 分） 由于向量组β1, β2, β3, β4的秩为 3，所以生成子空间 span(β1, β2, β3, β4)的维数为 3， 且等价的阶梯形矩阵前 3 行的 1，2，3 列构成的 3 阶子式不为 0，所以 span(β1, β2, β3, β4)的一个基为β1, β2, β3 （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． x1+2x2+3x3+4x4=5 x1-x2+x3+x4=1 3x2+2x3+3x4=4 解 增广矩阵为 B= 1 2 3 4 5 1 -1 1 1 1 0 3 2 3 4 ~ 1 2 3 4 5 0 -3 -2 -3 -4 0 3 2 3 4 ~ 1 2 3 4 5 0 -3 -2 -3 -4 0 0 0 0 0 ~ 1 0 5/3 2 7/3 0 1 2/3 1 4/3 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1+5/3x3+2x4=7/3 x2+2/3x3+x4=4/3 （2 分） 令 x3=c1,x4=c2得 x1 x2 x3 x4 = 7/3 4/3 0 0 +c1 -5/3 -2/3 1 0 c2 -2 -1 0 1 （6 分） 六、（12 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形． f(x1, x2,x3)=- x1 2+4x1 x2-2 x1x3+2 x2 2-4 x2 x3-x3 2 解 f=-( x1-2x2+x3) 2+6 x2 2-8 x2 x3=-( x1-2x2+x3) 2+6(x2-2/3x3) 2-8/9 x3 2 （6 分） 令 y1= x1-2x2+x3 y2= x2-2/3x3 y3= x3 即 x1=y1+2y2+1/3y3 x2= y2+2/3y3 x3= y3 （4 分） 得 f=- y1 2+6y2 2-8/9y3 2 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分）证明题 （1）已知 nn 矩阵 A 的秩小于 n-1，A* 表示 A 的伴随矩阵，试证 A*的秩 rank(A*)=0．